微积分 第一章 函数 连续与极限

第一章 函数 连续与极限

1.1 集合与函数

一、概念

集合：特定性质，彼此区别的总体

元素：集合内的事物

二、集合的表示法

1.列举法：按任意顺序列出，花括号

2.描述法：

三、全集与空集

全集：所有对象的集合

空集：不含任何元素的集合

四、子集

集合 的任一元素都是 的元素称 为 的子集

空集是任意集合的子集

互为子集则相等

五、集合的运算

交集：

并集：

补集：

差集：

函数的几种简单性质

一、函数的有界性

若 有 成立，则称函数 在 上有界，否则称无界

二、函数的单调性

若 当 时恒有 成立，则称函数 在区间 是单调减少的

三、函数的奇偶性

设 关于原点对称，若 ， 有 则称 为偶函数

设 关于原点对称，若 ， 有 则称 为奇函数

任意定义域关于原点对称的函数均可拆成一个奇函数与一个偶函数的和

四、函数的周期性

设 ，若 ，使得 恒成立，则称 为周期函数

满足这个等式的最小正数 ，称为函数的周期

狄利克雷函数 周期为任意有理数故无最小正周期

反函数与复合函数

一、反函数

设 ，若 有一个确定的且满足 的 与之对应，其对应规则记作 ，这个定义在 上的函数 称为 的反函数，或称它们互为反函数

直接函数与反函数的图形关于直线 对称

二、复合函数

设 ，称 是由 ， 复合而成的函数， 称为中间变量， 为自变量

初等函数

一、基本初等函数

三角函数和反三角函数

二、初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤构成可用一个式子表示的函数，称为初等函数

是初等函数

双曲函数常用公式

和差化积

积化和差

1.2 极限的概念

一、数列的定义

按照一定顺序一次排成的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，其中每个数称为数列的项， 称为通项，数列记作

二、数列的简单性质

单调数列

对数列 ，若对 ，都有 则称 为（严格）单调增加（减少）数列

若对 ，都有 则称 为单调不减（不增）数列

有界性

对于数列 ，若 ，使 ，具有 ，则称 为有界数列，否则称为无界数列，即对 ，总 使

既有上界也下界的数列必有界

三、数列的极限

当 无限增大时， 无限接近 ，等价于 可以任意小

给定 ，只要 时，有 成立

如果对于 ，总存在一个正整数 ，当 时， 恒成立，则称当 趋于无穷大时，数列 以常数 为极限

记作 或

如果数列没有极限，就说数列是发散的

定义：

1. 任意性，固定性

2. 但不唯一

3. ，去掉或增加有限项不改变数列极限

4. 等价于 几何解释：当 时，所有的点 都落在 内，只有有限个（至多 个）落在其外

5. 是一个确定的常数

7. 定义只能用来验证极限，不能计算极限

计算 的方法

1. 利用不等式直接反解 ，然后取整

2. 利用题目中给出的已知极限的 找到

3. 对不等式进行合理的放缩再反解 ，找到

定理一 有界性

收敛的数列必定有界

推论：无界数列必定发散

定理二 唯一性

每个收敛的数列只有一个极限

证明：同一法；反证法

定理三 保号性

定理四

注 且 存在

定理五 海涅定理

（一般用于判定极限不存在）

极限的运算性质

定理 设 均存在，则

注意

• 极限必须存在

• 分母不为零

• 只能求有限项的极限

函数的极限

一、当自变量趋于无穷大时函数的极限

时的情形

定义 设 时定义在 上的函数， 是常数，对于任意正数 总存在正数 ，使对于任何 都有 ，则称 为 趋于正无穷大时 的极限，记为

时的情形

时的情形

几何解释

当 或 时，函数 的图形完全落在以 为中心线，宽为 的带型区域时

二、自变量趋向有限值时函数的极限

表示 任意小

表示 过程中的某一时刻之后

体现 接近 程度

1. 定义

设函数 在 有定义，若对于任意给定的正数 总存在正数 使得对于适合不等式 的一切 ，对应的函数值 都满足不等式 ，则称常数 为函数 当 时的极限，记作 或 （当 时）

2. 几何解释

当 在 的去心 邻域时，函数 的图形完全落在以 为中心线，宽为 的带型区域时

3. 左右极限

例如 证明

从左侧无限趋近 ，记作 或

从右侧无限趋近 ，记作 或

左极限 使当 时恒有 记作 或

右极限 使当 时恒有 记作 或

定理：

三、函数极限的性质

1. 有界性

若在某个过程中 有极限，则存在过程的一个时刻，在此时刻以后 有界

2. 惟一性

若在 的变化过程中 的极限存在，则极限惟一

3. 不等式性质

局部保号性

若 ，且 （或 ）则 ，当 时，（或 ）

保序性

设 若 ，，有 ，则

4. 函数极限与数列极限的关系

设 在 的某去心邻域 有定义，则 的充要条件是

对任何以 为极限且含于此空心邻域的数列 都有

1.3 无穷小&无穷大量

一、无穷小

1. 定义

极限为零的变量称为无穷小

零是无穷小

2. 无穷小与函数极限的关系

定理

其中 是当 时的无穷小

3. 无穷小的运算性质

定理2 有限个无穷小的代数和还是无穷小

定理3 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小

• 在同一过程中，有极限的变量与无限小的乘积时无穷小
• 常数与无穷小的乘积时无穷小
• 有限个无穷小的乘积也是无穷小

二、无穷大

定义2

当 时有 成立，则称 当 时为无穷大，记为

三、无穷小与无穷大的关系

定理4

在同一过程中，无穷大的倒数为无穷小；恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 ### 四、无穷小的比较

极限不同，反映了无穷小趋向于零的“快慢“程度不同

定义：设 是同一过程中的两个无穷小，且

1. 如果 就说 是比 高阶的无穷小，记作 ；
2. 如果 就说 是比 同阶的无穷小；特殊地 如果 ，则称 与 是等价的无穷小，记作 ；

常用等价无穷小

五、等价无穷小的替换

定理（等价无穷小替换定理）

设 且 或 ，则

推论

若 时 与 是等价无穷小，且 （或 ），则 （或 ）

用等价无穷小可给出函数的近似表达式

即 于是有 ，等量代换

例如：

1.4 极限与运算法则

一、极限运算法则

定理 设 则

• （1）
• （2）
• （3），其中

常数因子可以提到极限记号外面

二、求极限方法举例

注意：

但 时

1.5 极限存在准则 两个重要极限

一、极限存在准则

1. 夹逼准则（迫敛性法则）

准则Ⅰ 如果当 时，有

那么 存在且等于

2. 单调有界准则

准则Ⅱ 单调有界数列必有极限

如果数列 满足条件

单调增加有上界 单调减少有下界

则有极限

二、两个重要极限

1.6 连续函数

一、函数的连续性

1. 函数的增量

设函数 在 内有定义，， 称为自变量在点 的增量， 称为函数 相应与 的增量

2. 连续的定义

定义1 设函数 在 内有定义，如果当自变量的增量 趋向于零时，对应的函数增量 也趋向于零，即 或 那么就称函数 在点 连续， 称为 的连续点

定义2 设函数 在 内有定义，如果函数 当 时的极限存在，且等于它在点 处对应的函数值 即 那么就称函数 在点 连续

定义3 ，使当 时，恒有

3. 左、右连续

若函数 在 内有定义，且 即 ，则称 在点 处左连续 若函数 在 内有定义，且 即 ，则称 在点 处右连续

定理 函数 在 处连续等价于函数 在 处同时左连续又右连续

4. 连续函数与连续区间

• 在 上每一点都连续的函数，叫做 上的连续函数，或者说函数在 上连续

• 如果函数在开区间 连续，并在在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，则称函数 在闭区间 连续

• 表示在开区间 内全体连续函数构成的集合

  如果函数 在开区间 内连续，记为

• 表示在闭区间 内全体连续函数构成的集合

  如果函数 在闭区间 内连续，记为

• 连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线

二、函数的间断点

函数 在点 连续必须满足的三个条件

1. 在点 处有定义

2. 存在

如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数 在点 处不连续（间断），并称点 是 的不连续点（间断点）

间断点的分类

定义 若点 为 的间断点，但 在点 的左右极限均存在则称点 为 的第一类间断点，凡不是第一类间断点的间断点称为第二类间断点

第一类间断点又可以分为

• 可去型间断点：如果 在点 处的极限存在（），但 或 在点 处无定义，则称点 为函数 的第一类可去型间断点

• 跳跃型间断点：如果 在点 处的左、右都存在且不相等，则称点 为函数 的第一类跳跃型间断点

注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义，即可将其改成连续点

第二类间断点： 在点 处的左右极限至少有一个不存在

• 有一侧极限为无穷大，称为第二类无穷型间断点
• 形如 称为第二类震荡型间断点

三、连续函数的四则运算

定理1 若函数 在点 处连续，则 ，， 在点 处也连续

例如 在 上连续，故 在其定义域连续

四、反函数与复合函数的连续性

定理2 单调连续函数的反函数必单调连续

定理3 若 ，函数 在点 连续，则有

定理4 设函数 在点 连续，且 ，而函数 在点 连续，则复合函数 在点 也连续

五、闭区间上连续函数的的性质

一、最大值和最小值定理

定义 对于在遇见 上有定义的函数 如果有，使得对于任一 都有 ，则称 是函数 在区间 上的最大（小）值

定理1（最大值和最小值定理） 在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值

若 则 ，使得 有 ，

注意 若区间是开区间或区间内有间断点则不一定成立

定理2（有界型定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界

二、介值定理

定理3（介值定理） 若 且 ，则 ，都 使得

推论1 若 ，最大值、最小值分别为 ，且 ，则 ， 使

推论2（零点存在定理） 设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号，那么在开区间 内有函数 的一个零点，即至少有一点 使得 ，即方程 在 内至少存在一个实根