微积分 第七章 多元向量值函数积分学

第七章 多元向量值函数积分学

7.1 第二类曲线积分

一、第二类曲线积分的概念与性质

定义 设 为 面内从 到 的一条有向光滑曲线弧，函数 在 上有界，用 上的点 把 分成 个有向小弧段，设 ，点 为 上任意取定的点，若当各小弧段长度的最大值 时， 的极限存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分（或称第二类曲线积分）

记作

记 ，则

若 为闭曲线则记为

性质

1. 如果把 分为 和 ，则

2. 设 是有向曲线弧， 是与 方向相反的有向曲线弧，则 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关

二、第二类曲线积分的计算

定理 设 在曲线弧 上有定义且连续， 的参数方程为 当参数 单调地由 变到 时，点 从 的起点 沿 运动到终点 ， 在以 为端点的闭区间上具有一份连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且

三、两类曲线积分之间的关系

设有向平面曲线弧为 ， 上点 处的切向量 的方向角为 ，则

7.2 第二类曲面积分

一、有向曲面

若点在曲面上任意连续移动，其法向量也随之连续变化，当点再回到原来的位置时，其法向量的指向不变，称这样的曲面为双侧曲面

对于一个给定的双侧曲面，曲面的侧可通过曲面上单位法向量的指向来确定，曲面上任一点处的单位法向量有两个方向，选定一个方向，即取定曲面上的法向量都指向同一侧，这样就确定了曲面的侧，这种确定了侧的曲面称为有向曲面，例如，对于曲面 ，我们可以用单位法向量确定曲面的上策或下册

曲面 在点 处的法向量 为

因此，曲面的上侧或下侧可用一下单位法向量来确定

上侧 下侧 我们规定在曲面上任一点处的曲面面积微元：其方向与指定一侧的单位法向量 一致，其大小为曲面面积微元 ，即

二、第二类曲面积分的概念与性质

定义 设 为一光滑的有向曲面，指定它的一侧。设向量值函数 在曲面上有界，将曲面 任意划分成 个有向小曲面 ，在每个有向小曲面 上任取一点 ，作点积

其中 是曲面在点 处指向给定一侧的单位法向量，如果无论曲面 如何划分，点 如何选取，当所有小曲面的直径的最大值 时，上述和式存在且为同一常数，则称此极限值为向量值函数 在有向曲面 上的第二类曲面积分，记为 上式右端就是第二类曲面积分的坐标形式，因此第二类曲面积分又被称为对坐标的曲面积分

通常将向量值函数 在有向曲面 上的第二类曲面积分称为函数 对曲面 的通量

性质

1. 设 为两个常数，则

2. 若用 表示有向曲面 的另一侧，则

3. 若将有向曲面 分为两块曲面 ，且 与 同侧，则

三、第二类曲面积分的计算

1. 分面投影法

2. 合一投影法

   前面已知在曲面 上任一点处指向上侧的法向量为 ，单位法向量为

根据两类曲面积分的联系与第一类曲面积分的计算公式，有 $$

$$ 上下侧方向与正负号的问题只需乘上对应的单位法向量方向即可，无需额外符号

7.3 微积分基本定理的推广

一、格林公式

设 为平面区域，如果 内任意闭曲线所围成的部分都属于 ，则称 为单连通区域，否则称为复连通区域

对平面区域 的边界曲线 ，我们规定当人沿 行进时， 内在他近处的那一部分总在其左边.根据此规定，单连通区域边界曲线 的正方向为逆时针方向，二内边界曲线 的正方向为顺时针方向

定理1（格林公式）

1. 设 是由分段光滑的曲线 围成的平面单连通区域，函数 在 上具有一阶连续偏导数，则有 其中 是 的取正方向的边界曲线

2. 设 是由分段光滑的曲线 围成的平面复连通区域，函数 在 ​ 上具有一节连续偏导数，则有 其中 是 的取正方向的外（内）边界曲线

格林公式的简单运用

在格林公式中，令 ，就可得到一个用第二类曲线积分计算平面闭区域 面积 的公式

二、高斯公式

定理2（高斯公式）

设空间区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，函数 在 上具有一节连续偏导数，则有 其中 是 的边界曲面的外侧

三、斯托克斯公式

定理3（斯托克斯公式）

设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 为以 为边界的分片光滑的有向曲面.函数 在包含曲面 在内的一个空间区域内有一节连续偏导数，则 其中 的方向与 的侧符合右手定则，即用右手四指表示 的方向，大拇指的方向与曲面 的侧同向

为了便于记忆，斯托克斯公式又常写为 $$

$$

7.4 曲线积分与路径的无关性

一、曲线积分与路径无关的条件

定理1 设 为平面上的单连通区域，函数 在 上有一阶连续偏导数，则下列四个命题等价

1. 对于 内任一光滑的简单闭曲线 ，有

2. 曲线积分 的值在 内与路径无关

3. 被积表达式 在 内是某个二元函数 的全微分，即

4. 在 内每一点都满足

如果函数 在单连通区域 内具有一节连续偏导数，且 ，根据定理1， 是 内某个函数 的全微分，这时我们称 为 的原函数，与定积分的牛顿-莱布尼茨公式类似，有

空间一维单连通区域的定义

设 是空间某区域，若对该区域内任意一条闭曲线 ，都能作出以 为边界且全部位于该区域的曲面，称之为空间一维单连通区域

定理2 设 为空间一维单连通区域，函数 在 内有一节连续偏导数，则下列四个命题等价

1. 对于 内任一光滑的简单闭曲线 ，有

2. 曲线积分 的值在 内与路径无关

3. 被积表达式 在 内是某个三元函数 的全微分，即

4. 在 内每一点都满足

即

与平面情况类似，我们称函数 为 的原函数，其积分路径可选取平行坐标轴的折线，则

二、全微分方程

对于一个如下形式的一阶常微分方程 如果存在某个函数 使得 则称此方程为全微分方程

如果 是微分方程的解，那么有 所以 ，这表明 是由方程 所确定的隐函数

如果方程式全微分方程，则其通解为 ，其中 为任意常数

有时方程 不是全微分方程，但如果存在连续可微函数 ，使 为全微分方程，则称函数 为方程的一个积分因子

7.5 场论初步

一、场的概念

如果在全部空间或部分空间的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，那么就成这空间内确定了该物理量的场

如果这物理量是数量，就称此场为数量场，如温度场、密度场、电位场

如果这物理量是向量，就称此场为向量场，如力场、速度场

在空间引入坐标系后，一个与时间无关的数量场可以用一个数量值函数 来表示，一个与时间无关的向量场可以用一个向量值函数函数 来表示

需要注意的是，场及场论中有关概念的固有含义与坐标系的选取无关，引入坐标只是为了便于用数学方法研究其性质

函数 的梯度 就是一个向量场，它是由数量场 产生的一个向量场，也称为梯度场

二、通量与散度

给定义向量场 为场内某有向曲面， 上指定一侧的单位法向量为 ，向量场 沿曲面 的第二类曲面积分 称为向量场 通过有向曲面 指定一侧的通量

如果 是一分片光滑的闭曲面， 为外法向量， 为 所包围的空间区域，由高斯公式有 将 称为向量场 的散度，记为 ，即 于是高斯公式可写成如下的向量形式 散度是一个数量，它是由向量场 产生的数量场，称为散度场

散度 表示速度场 在 出“源头”的强度，如果 ，称此点为”源“；如果 ，称此点为”汇“；如果 ，则称向量场 为无源场

由这一共识可看出，散度与坐标轴的选取是无关的.

由高斯公式可知，在无源场 中任一闭曲面的通量为零，即

三、环量与旋度

给定义向量场 设 为场内一有向闭曲线， 上与指定方向一致的单位切向量为 ，则曲线积分 称为向量场 沿有向闭曲线 的环量

设 是以 为边界的有向曲面，曲线 的方向与曲面 的侧符合右手规则，有斯托克斯公式有 向量 称为向量场 的旋度，记为 ，即 于是可将斯托克斯公式写成如下形式 旋度是一个向量，它是由向量场 产生的向量场，称为旋度场

当 ，即沿任意闭曲线的环量为零时，称 为无旋场，此时流体流动时不形成旋涡

四、几种特殊的向量场

如果向量场内第二类曲线积分只与起点和终点有关而与积分路径无关，这种场称为保守场

一个场为保守场的充要条件是该向量场为无旋场，同时我们还知道必存在函数 使得 即 因此有 此时函数 称为向量场 的势函数，向量场 称为有势场，其为函数 的梯度场

向量微分算子 ，即哈密顿算子

其运算法则是：对于数量值函数 ，有 对于向量值函数 利用算子 可将梯度写成 ，散度写成 ，旋度写成 ，从而可将高斯公式与斯托克斯公式表示成更简单的形式，即 若向量场 既是无源场又是无旋场，即 则称向量场 为调和场

因为调和场 是无旋场，所以也是有势场，及存在势函数 ，使 又因为 是无源场，所以有 即 上式称为拉普拉斯方程， 称为拉普拉斯算子.因此，调和场的势函数必满足拉普拉斯方程