微积分 第三章 一元函数积分学

第三章 一元函数积分学

3.1 定积分的概念和性质

一、引例

设函数 在区间 上非负、连续、由曲线 即直线 所组成的图形曲边梯形

1. 分割
2. 近似
3. 求和
4. 取极限

二、定义

定义 设函数 在 上有界，在 中任意插入 个分点： 把 分成 个小区间 ，每个小区间长度依次记作 ，在们个 上任意取一点 ，作乘积，记 无论 或 怎么选取，和 总趋近于确定的常数 ，则称函数 在 上可积，并称此极限 为函数 在 上的定积分，记为 叫积分区间

被积变量

被积函数

被积表达式

积分和

说明

1. 当函数 在区间 上的定积分存在时，称 在区间 上可积，有界是可积的必要条件

2. 定义中区间的分法和 的取法是任意的

3. 积分值仅与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么符号的字母表示无关

4. 定义中 不能换成 （因为不一定是均分）

5. 用 语言定义为

   若 在 上有界，若存在常数 ，，如果不论对 的任意分法及 在 上的任意取法，只要 就有 则称 为 在 上的定积分，记为

6. 定积分是一个数

三、存在定理

定理1 若函数 在 上连续，则 在区间 上可积

定理2 若函数 在区间 上有界，且只有有限个第一类间断点，则 在区间 上可积

四、定积分的几何意义

，曲边梯形的面积

，曲边梯形的面积的负值

的几何意义

它是介于 轴、函数 得到图形及两条直线 之间的各部分面积的代数和

在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积取负

五、定积分的性质

规定

性质1

性质2

性质3

性质4

性质5 如果在区间 上 ，则 ，（）

推论1 如果在区间 上 则 ，（） 即

性质6 设 及 是函数 在 上的最大最小值，则

性质7 如果函数 在闭区间 连续，则至少存在一点 使得

3.2 微积分学基本定理

一、问题引入

设指点以速度 沿直线运动， 在 上连续且 ，求质点在 内的路程

一方面，由定积分的定义知

另一方面，若一直物体运动的路程

则这段路程可表示为 一般地，若 则

二、积分上限函数

设函数 且 为 上的一点，考察定积分 如果上限 在区间 上任意变动，则对于每个取定的 ，定积分有一个对应值，所以它在 上定义了一个函数，称为积分上限函数，记为 定理1 如果 在 上连续，则积分上限函数 在 上可导，且其导数为

证明 由积分中值定理得 称 为 在 上的一个原函数

定理2 若 ，则 在 上必有原函数

三、牛顿——莱布尼兹公式

定理3 如果 是连续函数 在区间 上的原函数，则 ，则 定理3称为微积分基本定理，上述公式称为牛顿——莱布尼兹公式，它是微积分学中的基本公式，通常将 记为

3.3 不定积分的概念和性质

一、不定积分的概念

定义 若在区间 内， 是函数 的一个原函数，则 的所有原函数的一边表达式 （ 为任意常数）称为 的不定积分，记为 ，即 被积函数

被积表达式

积分变量

积分符号

二、不定积分的性质

性质1

性质2

积分基本公式

3.4 换元积分法

一、第一换元法

定理1 设 具有原函数， 可导，则有换元公式 第一类换元公式（凑微分法）

求

二、第二换元法

思想方法 改变中间变量的设置方法

定理2 设 是单调可导函数，且 ，又设 有反函数，则有换元公式 其中 为 的反函数

注1 三角代换的目的是化掉根式

1. ，可令
2. ，可令
3. ，可令

注2 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需要根据被积函数的情况来定

说明3 当分母/的次数较高时，可采用倒代换

说明4 当被积函数含有两种及以上的根式时 时，可采用 ，

定积分的换元积分法

定理 假设

2. 函数 ，在 上单值且有连续导数
3. 当 在区间 上变化时， 的值在 上变化，且

则有

3.5 分部积分法

一、不定积分的分部积分法

定理1 设函数 和 都有连续导数，则有 称为不定积分的分部积分公式

被积函数具有 时可将 看作 （因为 容易求得原函数，同时使用一次分部积分公式后 降低一次幂

被积函数具有 时均令 ，虽然会使 升幂，但可以尽快去掉不易积分的对数函数或反三角函数

如果分部积分计算过程中又出现了所求的积分，则可以移项求出

有时可以将被积函数拆项，对其中一项分部积分后使不易求出或不能求出的积分相互抵消

二、定积分的分部积分法

定理2 设函数 ，则

$$

$$

3.6 有理函数的积分

一、有理函数的积分

有理函数：两个实系数多项式的商所表示的函数 其中 都是非负整数， 及 都是实数，且

假定分子分母之间没有公因式

1. ，这有理函数叫真分式
2. ，这有理函数叫假分式

任意假分式可以化成一个多项式和一个真分式的和

任意真分式都可以分解为若干个最简分式的和 代数学基本定理：每个次数大于等于 的实系数多项式在实数遇上可以唯一分解成一次因式和二次不可约因式的乘积

结论

1. 分母中若有因式 ，则分解后为 其中 都是常数，特殊的： 分解后

2. 分母中若有因式 ，其中 ，则分解后 其中 都是常数，特殊的： 分解后为

二、三角函数有理式的积分

做变换 ，可将积分 化为 的有理函数的积分，事实上 所以 当三角有理函数满足 时，可令 ，则

3.7 反常积分

一、无穷区间上的反常积分

定义1 设函数 在无穷区间 上连续，且 ，则极限 称为 在 上的反常积分，记为 ，即规定

如果上式右段的极限存在，则称反常积分 收敛，否则称其发散

为了方便，可以使用如下简记法 其中 是 在 上的一个原函数

同样可定义 在 的反常积分为

对于在 上的连续函数 ，则规定 在 上的反常积分为

如果上式右端两个反常积分都收敛则称反常积分 收敛，否则称其发散

二、无界函数的反常积分

定义2 设函数 在区间 上连续，在 的左邻域内无界，则极限 称为 在 上的反常积分，记为 ，即规定

如果上式右段的极限存在，则称反常积分 收敛，否则称其发散 其中 是 在 上的一个原函数，而 表示

同样可定义 在 上的反常积分为

对于在 上除点 外连续，在 的某邻域内无界的连续函数 ，则规定 上的反常积分为

如果上式右端两个反常积分都收敛则称反常积分 收敛，否则称其发散

三、 函数与 函数

1. 函数

反常积分 在数学和其他学科中都有广泛的应用。对于每个正实数，可以证明这个积分都是收敛的，由此所确定的函数称为 函数，记为 而且， 在 是连续的

性质

2. 特别地，当 为正整数时，有

2. 函数

在应用和理论上时常遇到含两个参数 的反常积分 在 和 时是常义积分，当 或 时则是无界函数的反常积分

可以证明其收敛，于是当 时上述积分有确定的值，确定了一个关于 的函数，称为 函数，记为 性质

2. （对称性）
3. 特别地，当 时有

易混

当 时收敛， 时发散

当 时收敛， 时发散

四、总结

1. 定义：定积分+极限
2. 收敛的充要条件是极限存在
3. 计算： 先求定积分，再求极限
4. 难点：无界函数反常积分类型的判定即瑕点的确定

3.8 定积分的几何应用

一、微元法

在 上任取一小区间记为 求出相应于 的 的部分的近似值 其中 与部分两 之差是关于 的高阶无穷小

其次，以 被积式在 上作定积分得 的精确值

这种建立积分表达式的方法，称为微元法。 称为积分微元，简称微元

二、求平面图形的面积

1. 直角坐标系下平面图形的面积

直角坐标系下曲线 及直线 所围平面图形的面积

面积微元是

所求面积是

2. 极坐标系下平面图形的面积

曲线 及射线 所围成的曲边扇形的面积

面积微元是

面积是

三、求体积

1. 求已知平面截面面积的立体体积

一立体过 轴上两点 所做的与 轴垂直的两平行平面之间，且过 上任一点 所做的垂直于 轴的平面与立体的体积的截面面积是 的已知连续函数

体积微元是

立体体积是

2. 求旋转体的体积

连续曲线 及 轴围成的曲边梯形绕 轴一周的一旋转体，过 上任一点 做垂直于 轴的平面截此立体，截面面积为

得旋转体体积为

---

平面图形 绕 轴旋转一周所得的旋转体体积为 略去 的高阶无穷小 后，将 作为体积微元，即

旋转体体积为