微积分 第二章 一元函数微分学

第二章 一元函数微分学

2.1 导数的概念

一、引例

1. 切线的斜率

割线的极限位置——切线

设 割线 的斜率

切线 的斜率为

2. 平均速度和瞬时速度问题

设一物体做变速直线运动，其运动规律为 其中 为物体在时刻 离开起点的位移

平均速度

瞬时速度

二、导数的定义

定义 设函数 在点 的某个领域 内有定义 如果 时， 极限存在，则称 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 或

1. 若 不存在，则称函数 在 处不可导，若 为方便记为
2. 如果函数 在开区间 内每点处都可导则称 在开区间 内可导，记为
3. 对于任一 ，都对应着 的一个确定的导数值，则称此函数为原来函数 的导函数，记作

左、右导数

1. 左导数

2. 右导数

3. 函数 在点 可导 、 均存在且相等

4. 如果 在开区间 内可导，且 都存在，就说 在闭区间 上可导

三、导数的计算

用定义求导数的步骤

1. 求增量
2. 算比值
3. 求极限
4. 求 的导函数

四、导数的几何意义

表示曲线 点在 出的切线斜率，即 （ 为倾角）

切线方程

五、函数可导与连续的关系

定理 （可导的必要条件）

设函数 在点 可导，则 在点 处必连续

2.2 导数的四则运算法则

一、和、差、积、商的求导法则

定理 如果函数 在点 处可导，则他们的和、差、积、商（分母不为零）在点 处也可导，并且

推论

只说了连续没说可导的函数求导时用到只能通过定义求解

二、反函数的导数

定理 如果函数 在某区间 内单调、可导且 ，则

例 求函数 的导数

在 内单调，可导

且 ， 在 内有

即

同理

三、复合函数的求导法则

定理 如果函数 在点 可导且 在点 可导，则复合函数 在点 可导，其导数为 注

1. 基本初等函数的导数公式

2. 函数和、差、积、商的求导法则

3. 复合函数的求导法则

2.3 隐函数及参数函数的导数

一、隐函数的导数

关键：将方程两边同时对 求导，在求导过程中将 看成 的函数 ，再利用复合函数求导法则

对数求导法

求

二、参数式函数的导数

一般地，参数方程表示为

定理 若 均可导， 存在可导的反函数，，则由 确定的函数 可导，且有

三、相关变化率问题

某一般问题中有两个变量 和 ，它们之间有某种确定的依赖关系，可用 或 表示，如果变量 都是另一变量 的可导函数，则 和 之间两个相互依赖的变化率称为相关变化率

2.4 高阶导数

一、高阶导数的定义

如果导数 的导数 在 处可导，即 存在，则称 为函数 在点 处的二阶导数，记作

二阶导数的导数称为三阶导数

三阶导数的导数称为四阶导数，

一般地， 的 阶导数的导数称为 的 阶导数

二阶及以上阶数的导数统称为高阶导数

二、高阶导数求法举例

1. 直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数

   注意：求 阶导数时，求出 阶后不要急于合并，分析结果的规律性写出 阶导

2. 高阶导数的运算法则

   3. ——莱布尼茨公式

3. 间接法：设利用一致的高阶导数公式，通过四则运算、变量代换等方法，求出 阶导数

   5. ，

4. 指定阶数的导数

例 已知参数方程 ，证明

证

已知 ，有

2.5 函数的微分

一、微分的概念

1. 的线性函数，且为 的主要部分
2. 的高阶无穷小，当 很小时可忽略

定义 设函数 在 内有定义，

如果 成立（其中 是与 无关的函数），则称函数 在点 可微，且称 为函数 在点 相对应于自变量增量 的微分，记作 或 ，即

微分 叫做函数增量 的线性主部

二、微分的运算法则

1. 微分的基本公式
2. 微分的四则运算法则

三、微分形式的不变性

设函数 有导数

1. 若 是自变量时，

2. 若 ，且 可微， 则 ，，

结论：无论 是自变量还是中间变量，函数 的微分形式总是

四、函数的线性近似

函数 过切点 的切线方程为

于是，切线是线性函数

有微分的几何意义知

由此，称线性函数 位 在点 的线性近似

或称 在点 将 局部线性化

2.6 微分中值定理

一、费马定理（极值的必要条件）

若 在 处可导且 是 的一个极值点，则

二、罗尔中值定理

若 且 ，则 使得

三、拉格朗日中值定理

若 则 使得

推论1 若 ，且 恒有 则 在 上恒等于一个常数 ，即

推论2 如果 且 恒有 则在 内

推论3 若 ，且 存在（或为 ）则 同理可证

四、柯西中值定理

1. 若
2. 若 且 ，均有 ，则 使得

2.7 不定型的极限

一、 型及 型

定义 如果当 或 时，两个函数 与 都趋于零或趋于无穷大，那么 称为 （或 ）不定 型

定理 （洛必达法则）设 满足以下三个条件

2. 在 点的某领域内（点 本身可以除外）， 及 都存在且
3. 存在（或 ）那么

注意 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其他求极限方法结合使用效果更好

二、 型不定型解法

关键 将其他类型不定型转化为洛必达法则可解决的类型

1. 型 步骤 ，或

2. 型

   取对

2.8 泰勒公式

一、泰勒（Taylor）中值定理

泰勒中值定理（皮亚诺型）如果函数 在 处 阶可导，则 其中

如果 在含有 的某个开区间 内可导，，其中 在 和 之间

如果 在含有 的某个开区间 内二阶可导，，其中 在 和 之间

泰勒中值定理 如果函数 在含有 的某开区间 内具有直到 阶导数，则当 时， 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 之和 其中 （ 在 与 之间）

证明 由假设 在 内具有直到 阶导数，

两函数 及 在 及以 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得

两函数 及 在 及以 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，得 如此下去，经过 次后得到 证明2

构造辅助函数

注意到 且 ，由罗尔定理得

---

称为 按 的幂展开的 次近似多项式， 称为 按 的幂展开的 阶泰勒公式

拉格朗日型余项 （ 在 与 之间）

皮亚诺型余项

（补充）Cauchy 余项

（ 在 与 之间）

三点说明

1. 当 时，泰勒公式变成拉氏中值公式

2. 取 ，在 与 之间，令 则余项

3. 麦克劳林（Maclaurin）公式

2.9 函数的单调性和极值

单调性

一、单调性的判别法

定理 设函数 在 上连续，在 内可导

1. 若在 内 则函数 在 上单调增加
2. 若在 内 则函数 在 上单调减少

注

1. 定理条件是一个充分条件

   有时函数 可在个别孤立点 处 其他点满足条件，也可以断定 的点调性

   例如： 在 时 ，但 在 上单调增加

   若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为该函数的单调区间

2. 一阶导数为零或一阶导数不存在的点为单调区间可能的分界点

3. 该定理对 成立

二、单调区间求法

1. 用方程 的根及 不存在的点来划分函数 的定义区间
2. 判断区间内导数的符号，从而确定 在该区间的单调性

三、利用单调性证明不等式

推论 设 在以 为断点的闭区间上连续，开区间上可导

• 当 时若 则 若 则

• 当 时若 则 若 则

函数极值的判定

一、极值的定义

定义1 设函数 在 内有定义，

若有 成立，就称 为 的一个极大值

若有 成立，就称 为 的一个极小值

函数 的极大值和极小值统称为最值

使得函数取得极值点点叫做极值点

定理2（函数极值的第一充分条件）

设 在临界点 连续，在 可导

• 如果 ，有 ，而 有 ，则 在 处取得极大值

• 如果 ，有 ，而 有 ，则 在 处取得极小值

定理3（第二充分条件）

设 在 处有二阶导数且 ，，则

• 当 时，函数 在 处取得极大值

• 当 时，函数 在 处取得极小值

定理4

若函数 在驻点 处的 阶导数存在，且

1. 当 为偶数时， 在 处取得极值

   • 当 时， 在 取得极小值

   • 当 时， 在 取得极大值

2. 当 为奇数时，点 不是 的极值

2.10 函数的凸性与曲线的拐点

一、函数凸性的定义

定义1 设 在区间 上连续，若曲线 上的任意两点间的弧段，总是位于连接这两点的弦之下，则称函数 在 内下凸；若曲线 上的任意两点间的弧段，总是位于连接这两点的弦之上，则称函数 在 内上凸；函数下凸或上凸的性质统称为函数的凸性

定义1‘ 设 若对 ， 且 ，若 则称 在 内下凸

若 则称 在 内上凸

在不等式中若 则分别有

二、函数凸性的判定

定理1 若 ，在 上二阶可导

1. 若 ，则 在 内下凸
2. 若 ，则 在 内上凸

定义2 设 在 的某邻域内连续，若 在 的左右两侧凸性相反，则称点 为曲线 的拐点

拐点的求法（拐点的费马定理）

定理2 若 在 内存在二阶导数，则称 是拐点的必要条件是

定理3 若 在 内二阶可导，，若在点 的两侧附近 异号，则点 为曲线 的拐点

2.11 函数作图

一、曲线的渐近线

定义 如果曲线上的懂点沿着曲线原理原点时，该店与某定直线的距离趋近于零，则称此定直线为曲线的渐近线

1. 水平渐近线

   如果曲线 的定义与是无穷区间，且 或 则直线 为曲线 的一条水平渐近线

2. 垂直渐近线

   如果曲线 ，有 或 则称直线 为曲线 的一条垂直渐近线

3. 斜渐近线

   对曲线 如果存在常数 使得 或 则直线 为曲线 的一条斜渐近线

二、图形描绘的步骤

1. 确定函数 的定义域，对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性质的讨论，求出函数的一阶导数 和二阶导数
2. 求出方程 和 在函数定义域内全部实根，用这些根同函数的简短点或导数不存在的点把函数定义域划分成几个部分区间
3. 确定在这些部分区间内 和 的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凸性与拐点（可列表讨论）
4. 确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线及其他变化趋势
5. 描出与方程 和 的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形

2.12 函数的曲率

一、弧微分

曲线弧长的微分称为弧微分

设曲线 在区间 内具有连续导数，则称曲线 在区间 内为光滑曲线

1. 直角坐标系下的弧微分

2. 极坐标下的弧微分

   二、曲率

   单位弧段上切线转角的大小来表达弧段 表达弧段 的平均弯曲程度，把这个比值叫做弧段 的平均曲率

   当 时，平均曲率的极限称为曲线在 点的曲率，记作 ，即

   有些实际问题中， 同 比较起来很小（记为 ）可以忽略不计，此时由 可得曲率的近似公式 设曲线 在点 处的曲率为 ，在 处曲线的法线上，在凸的内侧取一点 ，使 ，称这个圆为曲线在点 的曲率圆；曲率圆的圆心 称为曲线在点 的曲率中心；曲率圆的半径 称为曲线在点 的曲率半径

   曲线 在 处的曲率中心坐标 为 曲率圆方程