微积分 第五章 多元函数微分学

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第五章 多元函数微分学

5.1 多元函数

一、邻域

设点 集合 或 称为点 的 邻域

若点 不包含在该邻域内，则称该邻域为点 的空心邻域，记为

二、内点、外点、边界点、聚点

  1. 内点

设 是平面点集，如果存在 的某一邻域

，则称 为 的内点

  1. 边界点

如果点 的任一邻域既有属于 的点，也有不属于 的点（点 本身可以属于 也可以不属于），则称 为 的边界点

即

  1. 外点

设 ，并且存在 的某一邻域使 ，则称 为 的外点

  1. 边界

的边界点的集合称为 的边界

  1. 聚点

如果在点 的任何邻域 总含有 中非 的点，则称点 是 的一个聚点

即

点集 的聚点可以属于 ，也可以不属于

例： 中 是聚点但不属于集合

例： 边界上的点都是聚点也都属于集合

三、区域

  1. 开集

设 是平面点集，如果点集 中每一个点都是 的内点，则称 为开集

  1. 区域

设 是开集，如果对于 中任何两点都可用折线连结起来且折线上的点都属于 ，则称开集 是联通的开集，联通的开集称为区域或开区域

开区域连同其边界称为闭区域

  1. 有界区域

对一个区域 ，如果 ，使得 内任何点到原点的距离都小于 ，则称这个区域为有界闭区域

否则成这个区域为无界闭区域

  1. 在 为空间 中的推广

（1）两点间的距离

设两点 则

（2）邻域的概念

邻域：

类似地，可以定义 维空间 中的内点、外点、区域点等

四、多元函数的概念

定义1 设 ， 为是书记，若 的映射，即 ，则称 为定义在 上的二元函数

记为 ，其中 为自变量， 为因变量， 为 的定义域记为 ， 为函数的至于，类似地可定义三元及三元以上函数，当 时， 元函数统称为多元函数

元函数简记为：，其中

当 时叫做一元函数

当 时分别叫做二元、三元函数

二元函数 的图像： 表示一张曲面，里 的图像表示旋转抛物面

五、等值线

的图像在 为一曲面，若在定义域 上满足 （常数）的点集： 是 平面上的曲线，则将此曲线称为二元函数的等值线

六、多元函数的极值

定义2 设函数 的定义域为 ， 为 的聚点，，若存在常数 时的 当 时有 成立，则称 为函数 当 时的极限，记为 或 （二重极限）

注意区分二次极限： 或

定义3 设 元函数 的定义域为 ， 为 的聚点，若存在常数 使得 ，当 时，有 ，则称 为 元函数 当 时的极限（又称 重极限）

证明多元函数极限不存在，选择不同路径，极限值不相等即可

例： 令 和

例：

多元函数极限计算往往借助一元函数极限的各种公式，但不能直接应用

七、多元函数的连续性

定义4 设二元函数 的定义域 ， 是 的聚点且 ，若 则称 在 处连续

定义5 设 原函数 的定义域为 ， 为其聚点且 ，如果 则称 元函数 在 连续

设 是函数 定义域的聚点，如果 在 不连续则称 是 的间断点

二次函数间断点可以是孤立的点或一条或几条曲线

如果 在开区域（或闭区域） 内每一点都连续，则称函数 在 内连续，或成 是 内的连续函数

多元函数的连续性及运算法则与一元函数有类似的结果

一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的

有界闭区域上多元连续函数的性质

  1. 最大和最小值定理
  2. 有界闭区域 上的多元连续函数，如果在 上取得两个不同的函数值 ， 为介于 之间的任意数值，则至少存在点 使得

推论 如果 是连续函数 在有界闭区域 上的最小值和最大值 之间的一个数则至少存在点 使得

5.2 偏导数

设函数 ，令 暂时固定， 取得改变量 ，则过点 的水平直线上得一点 ，此时，函数的增量称为函数关于 的偏增量，记为 ，关于 的偏增量，记为

一、偏导数的概念

定义 设函数 在点 的某一领域内有定义，当 固定与 而 在 处有增量 时，相应地函数有偏增量 如果 存在，则称此函数为函数 在点 处对 的偏导数，记为 ，， 或

同理可定义函数 对 的偏导函数，记为 ，， 或

偏导数定义的本质上是导数！！！

如果函数 在区域 内任一点 处对 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 的函数，称为函数 对自变量 的偏导函数，记作 ，， 或 同理可定义函数 对自变量 的偏导函数，记作 ，， 或

二、函数的偏导数与函数连续性的关系

一元函数可导必连续

多元时，偏导数存在未必连续

例： 在 不连续但关于 偏导均存在

三、偏导数的几何意义

在 中，固定 是一个变量 的函数，从几何上看它是曲面 和平面 相交形成的一条曲线

偏导数 就是一元函数 在 的导数，故 表示这条曲线 在点 处的切线 对 轴的斜率，及

四、高阶偏导数

设 在 内的两个偏导数 均存在，它们都是 的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称这些偏导数是函数 的二阶偏导数 $$

$$ 后两项称为混合偏导

二阶混合偏导数相等的充分条件：偏导数连续

定理 若二元函数 的两个二阶混合偏导数 在点 处连续，则

同理， 的所有三阶偏导数都连续时有

5.3 全微分及其应用

一、全微分的概念

设 在 内有定义， 则成这两点的函数值之差为函数在点 对应于自变量增量 的全增量，记作 ，即

定义 如果全增量 可表示为 其中 是两个仅与点 有关而与 无关的常数，， 是 时关于 的高阶无穷小，则称 在 可微， 的线性主部 称为函数 在 的全微分，记为 ，又可记为

如果 在 内每点都可微，则称函数在 内可微

二、可微的性质

定理1 如果函数 在点 处可微，则该函数在点 处两个偏导数必存在且

定理2 若函数 在点 处可微，则该函数在 处必连续

两个均为 在 可微的必要非充分条件

例：

函数

在 处的两个偏导数存在但不连续故一定不可微

例：

在 连续且两个偏导数都存在但不可微

三、可微的充分条件

定理3 设函数 的两个偏导数 在点 的某领域内存在，且在 处连续，则函数在点 可微

四、全微分在近似计算中的应用

  1. 近似计算

  1. 误差分析

和、差的绝对误差不大于绝对误差的和，积、商的相对误差不大于相对误差的和

1
2
3
4
graph TD;
    偏导数连续-->可微;
    可微-->偏导数存在;
    可微-->函数连续;

5.4 多元复合函数的求导法则

一、复合函数求导的链式法则

定理 设 在点 处的偏导数均存在，函数 在对应的点 可微，则复合函数 在点 的偏导数 均存在，且有链式法则

几种情况的分析

  1. 中间变量多于两个的时候

设 ，则 其余类似

  1. 中间变量只有一个的情况

设 ，，则

  1. 自变量只有一个时的情况

设 则 是 的一元复合函数，它对 的导数称为全导数，有

  1. 设 则

二、一阶全微分形式的不变性

设 可微，若 都是自变量则

如果 不是自变量而是中间变量 ，仍有

由定义

其中

这一性质称为一阶全微分形式不变性

注：高阶微分形式不具有不变性

三、复合函数的高阶偏导数

引进符号

表示对第一个中间变量 求偏导数

表示对第二个中间变量 求偏导数

表示对第一个中间变量 求偏导数，再对第二个中间变量 求偏导数，以此类推

5.5 隐函数求导法

一、一个方程的情形

定理1 设函数 满足

  1. 在 的某领域内有连续偏导数

则 在 的某领域内能惟一确定一个单值连续的函数 满足 ，且

定理2 设函数 满足

  1. 在 的某领域内有连续偏导数

则 在 的某领域内能惟一确定一个单值连续的函数 满足 ，且

二、方程组的情形

由 的偏导数组成的（雅可比）行列式

定理3 设函数 满足

  1. 在 的某领域内有各个变量的连续偏导数

设方程组 在点 的某一邻域能唯一确定一组单值连续的函数 满足 且有连续偏导数

两边对 求偏导得

其中要求分母

5.6 偏导数在几何上的应用

一、空间曲线的切线与法平面（线线面）

  1. 空间曲线由参数方程表示的情况

设空间曲线方程 中的 对 均可导

如果 都在 上连续且 , 称这样的曲线为光滑曲线

曲线在 处的切线方程 切向量（切线的方向向量） 法平面：过 点且与切线垂直的平面

  1. 空间曲线方程为

如果 满足方程组隐函数存在定理的条件，则可唯一确定一组连续可微的函数 ，表明曲面 确定了一条光滑的曲线 ，其方程为 ，于是曲线 在 的切向量为

二、空间曲面的切平面和法线（面面线）

  1. 空间曲面由隐式给出的情形

设曲面方程为 在曲面上任取一条过点 的曲线 曲线在 的切向量

显然

将方程两边对 求导，

代入 得

引入向量

则上面的方程可表示为

这表面曲面上过 点的任一曲线在该店的切向量 都与向量 垂直，所以这些切向量应该在同一平面上，称为曲面在 的切平面 切平面方程为 如果曲面具有连续转动的切平面，也就是 上均连续，称此曲面为光滑曲面

过 且与切平面垂直的直线，称为曲面在 的法线

方程为

  1. 曲面由显函数给出的情形

空间曲面方程为 另

曲面在 的切平面方程为

曲面在 的法线方程为

全微分的几何意义

函数 在点 的全微分，在几何上表示曲面 在点 处的切平面上竖坐标 的改变量

5.7 方向导数与梯度

一、方向导数

定义 函数的增量 与 两点间的距离 之比值，当 沿着 趋于 时，如果此比值的极限存在则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数，记为

方向导数与偏导数区别

方向导数：

全增量，

射线方向的变化率 单向

偏导数：

偏增量，

坐标轴方向的变化率，双向

方向导数的存在性与函数在该点的偏导数的存在性无关

例：

在 的方向导数 以及

方向导数为：

偏导数

所以 不存在

定理 如果函数 在 可微，则函数在该点沿任意方向 的方向导数都存在且有 其中 为 的方向余弦

二、梯度

设函数 在 可微，称向量 为 在 的梯度，记为 即

设 为 的单位向量则

  1. 函数 在点 沿 方向的方向导数等于 在 方向的投影 ，其中 为 与 的夹角

  2. 函数 在点 的所有的方向导数不会超过 的模

  3. 当 时， 达到最大，即当 的方向就是 的方向时， 最大即沿着梯度方向，函数的变化率最大，函数值增长最快

  4. 方向导数 的最大值为

  5. 当 时当 取负梯度方向 时方向导数达到最小值为

类似地，梯度的概念可以推到三元以上的函数

设 ，则 在 的梯度为

可简记为

5.8 二元函数的泰勒公式

定理1 二元函数在 的某领域内有连续的二阶偏导数， 为此领域内的任一点，则存在 使

5.9 多元函数的极值与最大（小）值

一、无条件极值

定义 设函数 在点 的某领域内有定义对于该领域内异于 的点

若满谁不等式 则成 是函数 的极大值

若满谁不等式 》 则成 是函数 的极小值

极大值极小值统称为极值

设函数 在点 具有偏导数，且在 处有极值，则他在该点的偏导数必然为零

类似于一元函数，凡能使一阶偏导数同时为 的点均称为函数的驻点

例

的 不是极值点但

点 是 的极小值点但 不存在

定理2 （极值的充分条件）

设函数 在点 的某领域连续有一阶和二阶连续的偏导数且 另

则函数 在 是否取得极值的条件如下

  1. ，函数有极值

当 有极大值，当 有极小值

  1. ，函数无极值
  2. 定理失效考虑其他方法

注：定理2是针对二元函数判定极值的充分而不是必要条件

求函数 极值的一般步骤

  1. 解方程组 求实数解，得驻点
  2. 对每个驻点 ，求出二阶偏导数的值
  3. 定出 的符号，再判定是否是极值

二、有界闭区域上的最大值和最小值

求 在有界闭区域 上的最大值与最小值的一般步骤

  1. 求出 在 内的所有驻点及驻点处的函数值
  2. 求出 在边界上的最大最小值
  3. 比较 1,2 中的函数值得 上的最大最小值
  4. 对于实际问题若由于问题的性质 最大（小）值一定在 内取得且 在 内只有一个驻点则该店处的函数值就是 在 上的最大（小）值

三、条件极值和拉格朗日乘数法

极值问题

  1. 无条件极值 对自变量只有定义域的限制
  2. 有条件极值 对自变量除了定义域外还有其他极值

例 求 在条件 下的极值问题

称为目标函数

称为约束条件

从条件 中解出

代入 中得到 转化为一元函数 的无条件极值问题

构造函数

求出 对 的偏导数并使其为零 从中解出 及 ，则 就是可能的极值点。 称为拉格朗日函数， 称为拉格朗日乘数，此方法为拉格朗日乘数法

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