微积分 第八章 无穷级数

第八章 无穷级数

8.1 常数项级数的概念与性质

一、引言

一个数可以由无穷个数相加得到，但无穷个数相加却不一定能等于一个确定的数

但有限个数相加却一定是一个确定的数

即有限时成立的结论在无限时不一定成立，因为从有限到无限发生了质的变化

二、常数项级数的概念

级数的定义：给定数列 则有这个数列构成的表达式 称为 无穷级数，简称 级数，记为

每一项都是常数的级数 称为 常数项级数

每一项都是函数的级数 称为 函数项级数

称级数 的前 项和 为级数的 部分和

为 的部分和数列

定义2 当 无限增大时，如果级数 的部分和数列 有极限 ，即 ，则称级数 收敛，并称 为该级数的 和，记为 ，反之称该级数发散

当级数 收敛时，则

余项

显然

三、基本性质

性质1 若级数 收敛，则 也收敛

注：级数的每一项同乘一个非零的常数，敛散性不变

性质2 设两收敛级数 ，则级数 收敛，其和为

注：收敛级数 可以逐项相加与逐项相减

性质3 在级数 的前面去掉或加上有限项，不改变其敛散性

性质4 收敛级数 加括弧后形成的级数仍然收敛于原来的和

注：收敛级数去掉括弧所形成的级数不一定收敛

性质5 设级数 收敛，则

注：

1. 如果级数的一般项不趋于零，则级数发散

2. 必要条件不充分，如调和级数发散

8.2 常数项级数的判别法

一、正项级数及其审敛法

定义 如果级数 中各项均有 ，这种级数称为正项级数

定义 正项级数 收敛 部分和数列 有上界

1. 比较判敛法

定理 设 和 都是正项级数，且 ，则

1. 若 收敛，则 收敛

2. 若 发散，则 发散

推论1 给定级数 和 ，且存在正整数 和正数 ，使得 ，则

1. 若 收敛，则 收敛
2. 若 发散，则 发散

定理3 设 和 都是正项级数，若 则 同时发散或收敛

若 且 收敛则 收敛；若 且 发散则 发散

2. 比值判敛法

定理（达朗贝尔判别法） 设 是正项级数，若 则当 时级数收敛； 时级数发散； 时不确定

3. 根植判敛法

定理（柯西判别法） 设级数 正项级数， 则当 时级数收敛； 时级数发散； 时不确定

二、交错级数的判敛法

定义2 设 则称级数 或 是交错级数

定理6（莱布尼兹判敛法） 若交错级数 满足

则该级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值

三、绝对收敛和条件收敛

定义3 设 是任意实数，则级数 是任意项级数，其中各项绝对值所构成的级数 称为级数 的绝对值级数

定理7 若级数 收敛，则 也收敛

定义4 设 是任意项级数级数，若级数 收敛，则称级数 绝对收敛；若级数 收敛但 发散，则称 条件收敛

定理8（绝对收敛级数的可交换性） 绝对收敛级数不因改变想的位置二改变它的和

定理9（绝对收敛级数的成绩） 设级数 与 都是绝对收敛的，其和分别为 ，则它们的柯西乘积 对于条件收敛来说，定理 并不成立

8.3 幂级数

一、函数项级数的一般概念

定义1 给定一个区间上的函数列

则由该函数列构成的表达式 称为定义在区间 上的函数项级数

定义2 设 且级数 收敛，则称 是函数项级数 的收敛点；如果级数发散，则称 是函数项级数 的发散点。全体收敛点的集合称为函数项级数 的收敛域

二、幂级数及其收敛半径

定义3 形如 的函数项级数称为幂级数，其中 称为幂级数的系数

定理1（阿贝尔定理） 若幂级数 在点 收敛，则当 时，幂级数 绝对收敛；若 在 处发散，则 是幂级数 发散

推论 若幂级数 不是尽在一点 收敛也不是在整个数轴都收敛，则必定有一个完全确定的正数 存在，使得

1. 当 时，幂级数 绝对收敛
2. 当 时，幂级数 发散
3. 当 时，不确定

满足推论的正数 称为幂级数 的收敛半径，对应的开区间 称为幂级数的收敛区间。求幂级数的收敛域则还需考虑区间两个端点的收敛性

定理2 设幂级数为 ，若 则有

1. 当 时，
2. 当 时，
3. 当 时，

三、幂级数的运算性质

性质1 幂级数的和函数在收敛区间内连续

性质2 幂级数的和函数在收敛区间内可积，且对 有逐项积分公式 性质3 幂级数的和函数内有连续的导数，且对 有逐项求导公式

8.4 函数展开成幂级数

一、泰勒级数

幂级数 称为函数 在 的泰勒级数

特别地，当 时，幂级数 称为函数 的麦克劳林级数

定理1 设函数 在 的某个邻域 内具有任意阶导数，则函数 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 的泰勒公式中的余项 满足 定理2 如果函数 在含 的区间 能展开成泰勒级数，则右端的幂级数是唯一的

二、函数展开成幂级数

1. 直接展开法

直接使用泰勒公式

2. 间接展开法

1. 逐项求导与逐项积分
2. 变量代换法

几个基本的幂级数展开式

3. 四则运算法

8.5 幂级数的应用

不考

8.6 傅里叶级数

一、三角级数

二、三角函数系的正交性

称之为三角函数系

三角函数系在 上正交即三角函数系中任意两个不同的函数乘积在区间 上的积分为零

三、欧拉-傅里叶系数公式

如果上述公式的积分都存在，这时就定出了三角级数的系数 ，它们称为 的傅里叶系数。具有傅里叶系数的三角级数称为函数 的傅里叶级数，记为

四、傅里叶级数的收敛问题

定理（狄利克雷收敛定理）

设 是以 为周期的周期函数，如果其在区间 上连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点，则其傅里叶级数收敛，并且有

1. 当 是函数 的连续点时，有
2. 当 是函数 的间断点时，有

若函数只在 上有定义且满足狄利克雷定理的条件，可以在 或 外补充 的定义使其成为以 为周期的周期函数 ，这种拓广定义域的方法成为周期延拓

8.7 正弦级数与余弦级数

一、奇偶函数的傅里叶级数

奇函数

偶函数

$$ b_n=0 \

a_n={-}^f(x)nxdx ={0}^f(x)nxdx (n=0,1,2,) $$

二、函数展开成正弦级数与余弦级数

将只在 上有定义的函数 补充函数在 上的定义，使其成为奇函数（若 规定 ）或偶函数在做周期延拓，这种方法成为奇延拓或偶延拓

8.8 任意周期函数的傅里叶级数

一、周期为 的周期函数的傅里叶级数

定理1 设周期为 的周期函数 在 上满足地理课类收敛定理的条件，则其傅里叶展开式为