微积分 第六章 多元数量值函数积分学

第六章 多元数量值函数积分学

6.1 多元数量值函数积分的概念和性质

一、物体的质量

1. 平面薄片的质量 计算面密度为连续函数 的平面薄片 的质量

2. 分割

3. 近似

4. 作极限

其中 为所有小区域的最大直径

2. 空间物体的质量

计算体密度为连续函数 的空间区域 的质量

3. 空间曲线的质量

计算线密度为连续函数 的曲线 的质量

4. 物体的质量分布在一块曲面 上

设面密度为 ，在 上连续且点

二、多元数量值函数积分的概念

定义 设 为有界闭区域的几何形体且 可以度量，设有界函数 ，将 任意分割成 个小块 ， 也表示每块的度量，任取一点 ，作 ，令 为 个小块的最大直径，当 时，若 存在，称函数 在 上可积，记为 ：称为积分区域

：称为被积表达式或积分微元

注

1. 当 为几何形体 的密度函数时，其质量是

2. 当被积函数 时， 就是几何形体 的度量
3. 当 在 上连续时，函数 在 上必可积

三、不同几何形体 上积分的表达式

1. 设几何形体 是一平面区域 ，在 上的积分称为二重积分，记为 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线来划分区域 ，面积元素为

2. 设几何形体 是一空间区域 ，那么在 上的积分就称为三重积分，记为 在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面来划分 ，体积元素为

3. 设几何形体 为第一条平面或空间曲线 ，那么在 上的积分就称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分

记为 或

如果 是闭曲线，常记为

或

4. 设几何形体 为一曲面 ，那么在 上的积分就称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分

记为

如果 是闭曲面，常记为

四、积分的性质

注：以下性质的证明于定积分的证明完全类似

性质1 函数的和（或差）的积分等于各个函数积分的和（或茶），即

性质2 或闭区域 可分为两个闭区域 且 无公共内点则

性质3 如果在 上满足 ，则

特别地，由于 故有不等式

性质4 设 是 在闭几何形体 上的最小最大值，则

性质5 设 在闭几何形体 上连续，则存在 使得

6.2 二重积分的计算

一、二重积分的几何意义

以 面上的闭区域 为底面，以 的边界曲线为准线，母线平行于 轴的柱面为侧面，以曲面 为顶的以空间立体的体积

二、直角坐标系下计算二重积分

如果区域 可以表示为 ，其中 在 上连续

先对 后对 的二次积分通常记为

确定积分顺序时，应注意积分区域 为X-型的特点

结论：对于二重积分 ，积分区域 关于 轴对称

1. 若 是关于 的奇函数，则
2. 若 是关于 的偶函数，则

三、在极坐标中的计算

由二重积分的定义可知

现在用一族同心圆 以及从极点出发的一族射线， 将 划分为任意的 个小闭区域

当 与 充分小时，忽略高阶无穷小量 有

又因为

得

令 ，得

注：面积元素

四、二重积分换元法

设 在 上闭区域 内连续，变换 ，且雅可比行列式 则有

在极坐标变换 下

五、无界区域上的反常二重积分

设 是 平面上的无界区域， 是 内任一有界子区域，函数 在 上有界，在 上的二重积分存在；让 以任一方式无限扩展为 ，如果极限 存在，则称函数 在无界区域 上的反常二重积分 收敛，并称该极限值为反常二重积分的值，即 反之则发散

定理2 设函数 在无界区域 上有定义且 ，则反常二重积分 收敛的充要条件是 内存在有界子区域 ，当 时有 其中 为常数，此时成无且区域上的反常二重积分 收敛于

6.3 三重积分的计算

6.4 第一类曲线积分的计算

一、曲线的弧长

1. 直角坐标系下曲线弧微分与弧长的计算

   设曲线弧 ，其中 在 上有一阶连续导数，取积分变量为 ，在 上人去小区间 以对应小切线段的长代替小弧段的长

   小切线段的长

   弧长元素

推广：空间曲线弧长的计算公式

设其参数方程为

其中 在 上有连续导数

则空间曲线的弧长公式为

二、第一类曲线积分的计算

定理 设 在曲线弧上连续

的参数方程为

其中 在 上有一阶连续导数，则

6.5 第一类曲面积分的计算

6.6 积分在物理上的应用

一、质心

二、转动惯量

三、引力