微积分 第四章 常微分方程

第四章 常微分方程

4.1 微分方程的基本概念

含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程

未知函数是一元函数的称为常微分方程；未知函数是多元函数的称为偏微分方程

微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶

一般地， 阶微分方程有如下形式 如果微分方程的左端为未知函数 及它的各阶导数的一次有理整式，则称该方程为 阶线性方程，它的一般形式是 其中 和 都是 的已知函数

如果函数 满足微分方程则称函数 为该微分方程的解，如果微分方程中含有任意常数且其中独立的任意常数的个数和微分方程的阶数相同，则称为微分方程的通解

阶微分方程的的通解含有 个独立的任意常数，其一般形式为 其中 为相互独立的任意常数，若上式表示为 则称为微分方程的显式解，否则称为隐式解或通积分

为确定某一具体运动过程的任意常数，通常会提出一些条件来确定通解中的任意常数，这种附加条件称为定解条件，最常见的是反映运动初始状态的定解条件，称为初始条件。一般 解微分方程的初始条件有 个，就是对于某个自变量 ，给定未知函数及其从一阶到 阶导数的值，即 微分方程的不含任意常数的解称为特解，一般可利用初始条件由通解确定出其中的任意常数后得到

求微分方程满足初始条件的特解问题称为初值问题

微分方程的解的曲线称为积分曲线，含有任意常数的通解的曲线称为积分曲线族

4.2 一阶微分方程

一阶微分方程的典则形式 一阶微分方程的对称形式

一、可分离变量的方程

形如 的方程称为可分离变量的微分方程

若 ，则可将方程改写为 其中 表示 的原函数， 表示 的原函数

且 的根 也是方程的解

二、齐次方程

若函数 对任意 满足 则称 为 次齐次函数，当 时为零次齐次函数或齐次函数，若 为齐次函数，领 有 如果一阶微分方程 中的 为齐次函数，则称微分方程 为齐次方程 如果 有根 ，则 也是原齐次方程的解

三、一阶线性方程

1. 一阶线性方程

若 则称为一阶齐次线性微分方程，若 则称为一阶非齐次线性微分方程

为求一阶线性非齐次方程的通解，先求其对应的一阶其次线性方程的通解，得 推得一阶非齐次线性方程的通解为

2. 伯努利方程

形如 的方程称为伯努利方程，当 时该方程是一阶线性方程；当 时该方程是可分离变量的微分方程

当 时该方程可以通过变换 转化为一阶线性微分方程，事实上，以 除以方程两端

4.3 可降阶的高阶方程

一、 型

积分 次即可

二、 型

做代换 ，则 ，有

4.4 二阶齐次线性方程

一、二阶齐次线性方程解的结构与性质

二阶齐次线性方程的一般形式为 其中 仅为 的函数

定理1 若函数 与 是二阶齐次线性方程 的两个特解，则 定理2 设 均不为零，则 和 线性相关的充要条件是两个函数之比恒等于一个常数

定理3 若函数 与 是二阶齐次线性方程 的两个线性无关的特解，那么 就是方程 的通解，其中 为任意常数

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

在二阶齐次线性方程中，若 其中 为实常数，则方程变为 令 所以得 代数方程 称为微分方程 的特征方程，这种方法叫做欧拉待定指数函数法

1. 当 时，微分方程的通解

2. 当 时，微分方程的通解

3. 当 时，特征方程的共轭复根为 ，微分方程的通解

用特征方程求二阶常系数齐次线性方程通解的方法可以推广到高阶

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实根	给出一项
一对单复根	给出二项
重实根	给出 项
一对 重复根	给出 项

4.5 二阶非齐次线性方程

一、二阶非齐次线性方程解的结构与性质

二阶非齐次线性方程的一般形式为

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法

1. 若 则二阶常系数非齐次线性方程 具有形如

的特解，其中 为与 次数相同的多项式，而 按 不是特征方程的根，是单根，是重根依次取

2. 其中 是常数， 是 的 次多项式，则其特解有形式

其中 是系数待定的 次多项式，，而 视 不是，是特征方程的根而取

三、欧拉方程

不会