线性代数与空间解析几何 第二章 行列式

第二章 行列式

2.1 行列式的定义

一、矩阵的概念

（一）矩阵概念的引入

定义 由四个数排成二行二列的数表 则表达式 称为数表所确定的二阶行列式，并记作

即

（二）三阶行列式

定义 设有 个数排成三行三列的数表 记

（1）沙落法

（2）对角线法则

说明

1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式
2. 三阶行列式包括 项，每一项的数位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负

二、 阶行列式的定义

称 分别为 的代数余子式（不含 -1 的幂的称为余子式）

定义 定义 阶矩阵 的行列式

1. 当 时，;
2. 当 时， 其中 ， 为划去 的第一行第 列后所得的 阶行列式， 称为 的代数余子式，记号

例，计算斜下三角行列式

2.2 行列式的性质与计算

一、行列式的性质

性质1

行列式按任意行展开，其值相等，即 其中 ， 为划去 的第 行第 列后所得到的 阶行列式， 称为 的代数余子式

性质2

阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零，即当 ，， 时，

证（归纳法）

结论对二阶行列式显然

设结论对 阶行列式成立，对于 阶：按第 行展开

由于 是 阶行列式且其中有两行元全相等，所以 故

性质3

$$

$$

性质4（行列式的初等变换）

若把行初等变换施于 阶矩阵 上

1. 将 的某一行乘以数 得到 ，则

2. 将 的某一行乘以数 加到另一行得到 ，则

3. 交换 的第 行和第 行得到 ，则

推论 若行列式某两行对应元成比例，则行列式为零

应用

1. 设 为 阶矩阵，则

2. 初等矩阵的行列式

3. 初等矩阵与任一方阵 乘积的行列式 对任一初等矩阵 ，

   设 为初等矩阵，则

例5

奇数阶反对称矩阵行列式必为

为奇数时

二、行列式的计算

例

已知

例

范德蒙德行列式

$$

$$

三、方阵乘积的行列式

定理1

方阵 可逆的充要条件为

定理2

设 为 阶方阵，则

推论1

设 为 阶矩阵，则

推论2

设 为 阶矩阵，且 （或 ），则

应用：

例

设 且 求证

证：

2.3 拉普拉斯展开

一、行列式按行（列）展开

阶子式

矩阵 中任取 行 列的交点处 个原按照原来的相对位置组成的 阶行列式 称为 的一个 阶子式

的余子式

在 中划去 所在的 行 列，余下的元按照原来的相对位置组成的 阶行列式 称为 的余子式

定理

行列式等于它的任一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 推论

行列式任一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于 ，即

二、拉普拉斯展开定理

在行列式 中任取 行（列），由这 行（列）元所组成的一切 阶子式分别与它们的代数余子式的乘积之和，等于行列式

2.4 克拉默法则

一、逆矩阵的一个简明表达式

引理

设 则 即：行列式任一行（列）与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于

引理2

设 为 阶矩阵，则 ，其中 为 的伴随矩阵

定理1 方阵 可逆的充要条件为 ，当 可逆时，

例 求证

例 求证

1. 若 可逆，则 ，故
2. 若 不可逆，则 ，，反证法可证 也不可逆，所以

二、克拉默法则

已有结论：方阵 可逆的充要条件为 有唯一解

克拉默法则：设 可逆，则 的唯一解为： 是用 代替 中的第 列得到的行列式

证明： 其中 的第 个数等于 相当于把 第 列换成 后的

2.5 矩阵的秩

一、矩阵秩的概念

定义 矩阵 中非零子式的最高阶数 ，称为 的秩，记为

矩阵的秩的另一种理解

设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在）全等于 ，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵 的秩

基本结论与性质

2. 有一个 阶子式不为零
3. 的所有 阶子式全为零
5. 设 为 矩阵，则
6. 对任意矩阵 ，
7. 阶矩阵 可逆

满秩矩阵——可逆矩阵 降秩矩阵——不可逆矩阵

二、矩阵秩的计算

对于行阶梯形矩阵 ， 的非零行的行数

定理1 初等变换不改变矩阵的秩

等价于经初等行变幻能将 化为具有 个费领航的行阶梯型矩阵

推论 乘可逆矩阵不改变矩阵的秩

（将可逆矩阵拆为若干初等矩阵）

三、矩阵的标准形（分解）

对任意矩阵 ，都存在可逆矩阵 使得 ，

其中 称为 的标准形，即任何矩阵都等价与其标准形

与 等价 存在可逆的 使得

推论 同型矩阵 与 等价的充要条件是

例

设 为 阶矩阵，证明

证：

若 则 所以

若 则 中所有 阶子式均为零，

另外

秩1矩阵：拆成一行一列相乘