概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念

概率论与数理统计 评论

第一章 概率论的基本概念

1.1 随机事件与随机变量

一、随机现象及其统计规律

确定性现象的共同特点是在准确重复某些条件时它的结果总是确定的；或者根据它过去的状态，在一定条件下完全可以预言将来的发展情况。

非确定性现象具有事前不可预言性，即在相同条件下做重复试验每次结果未必相同；或是知道它过去的状态，事前却不能预知未来的情况，也称随机现象

随机现象在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果又具有规律性，我们称大量同类随机现象所呈现的固有规律为随机现象的统计规律性

二、随机试验与随机事件

对社会现象和自然现象进行的观察以及各种科学实验统称为试验

具有以下特征的试验称为随机试验

  1. 它可在相同条件下重复进行
  2. 试验的全部可能结果，在试验前就明确知道
  3. 一次试验结束之前，不能准确预知那一个结果将会出现

称随机试验中可能发生也可能不发生的事情为随机事件，简称时间，通常用大写英文字母 表示

在随机事件中必然发生的事件称为必然事件，用符号 表示

在随机试验中必然不可能发生的事件称为不可能事件，用符号 表示

三、样本空间与随机变量

称在随机试验 中必发生一个且仅发生一个的最简单事件为试验 的基本事件，由若干基本事件组合而成的事件称为复合事件

对于随机试验 的每一基本事件，用一只包含一个元素 的单元素 表示

由若干基本事件组成的复合事件，则用对应的若干元素所组成的集合表示

由全体基本事件所对应的全部元素所组成的集合，称为随机事件 的样本空间，称样本空间的每一个元素 为样本点， 表示事件 发生

若将样本空间看作事件，则它是必然事件，样本空间仍用 表示，试验 的任一事件都是样本空间的子集，记为

定义在样本空间上的随机变量 ，记

四、事件的关系与运算

  1. 包含关系

    ，即事件 发生必然导致事件 发生，称事件 包含事件

    对任一事件 ，都有

    若 则称 与 相等，记为

  2. 和事件

    事件 称为事件 与事件 的和，即当且仅当 和 中至少有一个发生时，事件 发生

  3. 积事件

    事件

称为事件 与事件 的积，即当且仅当 和 同时发生时，事件 发生； 也记为

  1. 互不相容事件

    若 ，则称事件 与 互不相容（或互斥）

    同一随机事件的基本事件都是互不相容的

  2. 对立事件

    若 且 ，则称事件 与事件 互为对立事件（或称互为逆事件）

    这是指对每次试验而言，事件 与 必有且仅有一个发生

    事件 的对立事件记为 ，即一次实验中” A 不发生“这一事件

  3. 差事件

    事件 称为 与 的差事件，当且仅当 发生且 不发生

    按照对立事件的概念，有 ，

1.2 概率

一、概率

概率是对随机事件发生可能性大小的一个客观度量，事件 的概率记为

二、频率

设在相同条件下，进行 次试验，事件 发生了 次，称比值 为事件 发生的频率

一般来讲，在相同的条件下重复进行试验，随着试验次数增多，事件的频率总在某一常数的附近摆动，并且出现较大偏差的可能性很小，我们称频率的这一性质为频率的稳定性

工程中常进行较多次数的重复试验，算得的频率作为概率的近似值

三、古典概率

设 是一个随机试验，若它满足以下两个条件

  1. 仅有有限个基本事件
  2. 每个基本事件发生的可能性相等

则称 为古典概型试验

设试验 为古典概型试验， 是全体基本事件，则由 所含基本事件个数所含基本事件总数 所确定的概率为事件 的古典概率

四、概率的公理化定义与性质

设随机试验 的样本空间为 ，若对于 的每一事件 都对应一个实数 ，其对应规则满足以下三条

  1. （非负性）对任一事件 ，有

  2. （规范性）

  3. （可列可加性）对 的互不相容事件列 ，有

则称 是事件 的概率

由此可得概率的性质

  2. （有限可加性）若事件 的事件组 互不相容，则有

  3. 对任何事件 有

  4. （单调性）若事件 和 满足 ，则 和 成立

概率加法定理

对试验 的任意两个事件 ，有

1.3 条件概率

一、条件概率

在已知事件 发生的条件下，事件 发生可能性大小的客观度量，记为

定义

设 是随机试验 的两个随机事件，且 ，称 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率

二、乘法公式

设 ，则有 设 ，则有

三、全概率公式

设 为随机试验 的样本空间， 为 的一组事件，若

则称 为 的一个有限划分

全概率公式

设随机试验 的样本空间为 ,， 为 的一个有限划分，且 ，则有

四、贝叶斯公式

设随机试验 的样本空间为 是 的一个有限划分，且 ，则有

1.4 事件的独立性

一、两个事件的独立性

设 是随机试验 的时间，若满足 则称事件 与 相互独立

若事件 相互独立，则 与与与 也分别相互独立

二、 个事件的独立性

对于试验 的三个事件 ，若下面四个等式同时成立 则称 所组成的事件组相互独立，若仅有前三个等式同时成立，则称此事件组是两两独立的

定义

设 为随机试验 的事件，若对任意的 即 ，有 则称事件组 相互独立

定理

若 个事件 相互独立，则将 中的任意多个事件换成它们的对立事件，所得到的 个事件仍然相互独立

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