概率论与数理统计 第三章 多维随机变量

第三章 多维随机变量

3.1 二维随机变量及其分布

一、联合分布函数

定义 设随机试验 的样本空间 ， 是定义在 上的 个随机变量，则将它们构成的有序组 称为 维随机变量，或称 维随机向量

定义 设 是二维随机变量， 是任意实数对，记 称二元函数 为 的联合分布函数； 的分布函数 分别称为 关于 的边缘分布函数

因 可得联合分布函数与边缘分布函数的关系如下 二维联合分布函数的性质

1. 分别对 单调不降

2. 对每一个变量 是右连续的

3. 是非负有界函数： 并且有

4. 对任意实数 ，有

---

维随机变量 的联合分布函数定义为 式中 是 个任意实数

由 的联合分布函数可确定其中任意 个（）分量的联合分布函数，称为 维边缘分布函数，例如 是 分别关于 的边缘分布函数

二、联合分布律

定义 二维随机变量 所有可能取值为有限对或可列无穷对：，记 满足以下条件

则称 为二维离散型随机变量，称上式为 的联合分布律

关于 的联合分布律，有如下性质

1. 随机变量 的联合分布函数为

2. 随机变量 的分布律为

设随机变量 的联合分布律如表所示，其中 ，称 服从二维两点分布

X

得

三、联合概率密度

定义 二维随机变量 的联合分布函数为 ，如果存在 ，使得对于任意实数对 有 则称 是连续型的二维随机变量，函数 称为 的联合概率密度

同理有如下性质

1. 处处成立

3. 若 ，则有

4. 随机变量 的概率密度分别为 称 为 关于 的边缘概率密度

四、二维均匀分布

设 其面积记为 ，若二维随机变量 的联合概率密度为 则称 在 上服从均匀分布

设 是 的子域（）则有 若随机变量 在 上服从均匀分布，则对任意 ，有 根据以上两式和类似公式，人们借助于几何度量来计算概率，称这种概率为几何概率

五、二维正态分布

二维随机变量 的联合概率密度为 其中 均为常数，且 ，则称 服从二维正态分布，记为

命题 若二维随机变量 则

3.2 随机变量的独立性

定义 设 是二维随机变量，若对于任意实数 ，有 成立，则称随机变量 相互独立

等价于 成立

定理 设 是为二维离散型随机变量，则 相互独立的充要条件是对于 的任意一对取值 均有 定理 设 是连续型随机变量，其联合概率密度和边缘概率密度分别是 ，则 相互独立的充要条件是 在平面上取出“面积”为零的集合外成立

定义 设 维随机变量 的联合分布函数为 ，若对所有实数组 均有 成立，式中 是关于 的边缘分布函数，则称 相互独立

若 为 维连续型随机变量，则上式可改写为

定理 若 维随机变量 相互独立，则

1. 其中任意 个随机变量也相互独立
2. 若随机变量的函数 也是随机变量，则它们也相互独立
3. 若 与 相互独立，且 是连续函数，则 和 也相互独立

3.3 条件分布

一、条件分布律

设离散型随机变量 的联合分布律为 若 ，则在事件 已发生的条件下，事件 的条件概率为 次概率数列具有分布列的性质

定义 设 是离散型随机变量，对固定的 ，若 ，则称 为在 的条件下，随机变量 的条件分布律

对 固定时同理

二、条件概率密度

对于一般随机变量 ，不能保证 或 ，因此对于离散型随机变量，不能用条件概率的概念引入“条件分布函数”，而是用极限来处理

定义 对于给定的实数 和任意的 ，若 ，且对任意实数 ，极限 存在，则称此极限为“Y=y”的情况下，随机变量 的条件分布函数，记为

对二维离散型随机变量 ，若 ，则在 的条件下，随机变量的条件分布函数为 若 是随机型连续变量，其联合概率密度为 ，若记 为在 的条件下，随机变量 的条件概率密度，则

3.4 随机变量的函数及其分布

一、离散型随机变量的函数及其分布律

离散型随机变量 的分布律为 若它的函数 仍是离散型随机变量，则其分布律为 其中

设离散型随机变量 的联合分布律为 的函数 仍是离散型随机变量，其分布律为 其中

定理 设离散型随机变量 相互独立，其分布律分别为 $$

P{X+y=m}=_{k=0}^m p(k)q(m-k)(m=0,1,2,) $$ 两个相互独立的泊松分布随机变量之和仍服从泊松分布，其参数为相应的参数之和。称泊松分布具有可加性（再生性）

类似可证二项分布也具有可加性：若 且 相互独立，则和

可以归纳证明，若 相互独立，且 ，则 换言之，若随机变量 则 可以表示称为 个相互独立的 (0-1) 分布随机变量之和

二、连续性随机变量的函数及其概率密度

仅考虑两种情形

1. 是连续型随机变量，函数 也是连续型随机变量，求其概率密度
2. 是连续型随机变量，函数 是一维连续型随机变量，求其概率密度

设 的概率密度为 ，则 的分布函数为 的概率密度为 设 的联合概率密度是 ，则 的分布函数为 的概率密度为 定理 设随机变量 具有概率密度 ，，又设 处处可导且恒有 （或恒有 ）则 是离散型随机变量，其概率密度为 其中 ， 是 的反函数

三、几种特殊函数的分布

1. 极值分布

   设随机变量 与 相互独立，则最大值 ，最小值 的分布函数分别为

2. 和的分布

   设 的联合概率密度 ，则 的分布函数是 $$

   $$

设随机变量 相互独立且都在 上服从均匀分布，求其和 的概率密度

当

当

当 时

此时称 服从辛普森分布，或三角分布

3. 商的分布

   设 的联合概率密度为 ，则其商 的分布函数是 得 的概率密度为

随机变量的模拟

的分布函数 连续且单增，随机变量 在 上均匀分布，则