概率论与数理统计 第六章 数理统计的基本概念

第六章 数理统计的基本概念

6.1 总体、样本与统计量

一、总体

研究对象的全体称为总体或母体

组成总体的每个基本元素称为个体

具有一定概率分布的总体称为统计总体，其概率分布称为总体分布

当总体分布为指数分布时称为指数分布总体；当总体分布为正态分布时称为正态分布总体或正态总体

二、样本

样本是按一定规定从总体中抽出的一部分个体

取得样本的过程称为抽样

样本是一组随机变量，记为 ，其中 称为样本容量或样本大小、样本量

把样本 的全体称为一组样本，而把 称为其中的第 个样本

实施抽样后得到的具体数据 称为样本观测值

要求样本满足下列要求

1. 代表性 每一个 应与总体 有相同的分布
2. 独立性 应该是相互独立的随机变量

具有上述两个特性的样本称为简单随机样本

三、统计量

设 为来自总体 的一个样本，若样本函数 中不含任何未知参数，则称 为一个统计量

常用统计量为

称为样本均值

称为样本方差， 称为样本标准差

，称为样本 阶原点矩

称为样本 阶中心距

样本原点矩和样本中心距统称样本矩，显然 ，值得注意的是样本二阶矩和样本方差相差一个实数因子：

将样本观测值代入上述各式得到统计值，用相应的小写字母表示，如 等

6.2 抽样分布

统计量的分布称为抽样分布

一、三个重要分布

1. 分布

定义 设随机变量 的概率密度为 则称随机变量 服从自由度为 的 分布，记为

其中 为 函数，定义为 定理 设有 个相互独立且都服从正态分布 的随机变量 ，即 则称随机变量 服从自由度为 的 分布

设随机变量 ，对于给定的正数 ，称满足关系式 的数 为 分布的上侧分位数或上侧临界值

分布的性质

1. 设随机变量 ，则有

2. 设随机变量 相互独立，且 ，则

3. 当 足够大时，有

其中 是标准正态分布的上侧分位数

2. 分布

定义 设随机变量 的概率密度为 则称 服从自由度为 的 分布，记为

定理 设随机变量 相互独立， ，记 则随机变量 服从自由度为 的 分布

同理可定义 为 分布的上侧分位数或上侧临界值

可以证明，若随机变量 ，则对任意实数 ，有 因此当 足够大时， 近似服从 分布

3. 分布

设随机变量 的概率密度为 则称 服从第一自由度为 ，第二自由度为 的 分布，记为

定理 设随机变量 相互独立，，记 则 服从第一自由度为 ，第二自由度为 的 分布

同理可定义 为 分布的上侧分位数或上侧临界值

易知 ，据此性质，得

二、抽样分布定理

定理 设 是正态总体 的样本， 分别是样本均值和样本方差，则有

1. 相互独立

定理 设 和 分别是来自正态总体 和 的样本，并且它们相互独立， 及 分别是这两组样本的样本均值和样本方差，则有

2. 当 时 其中