线性代数与空间解析几何 第三章 几何空间

第三章 几何空间

3.1 空间直角坐标系与向量

一、空间直角坐标系

三个坐标轴的正方向符合右手系

二、向量

（一）向量的概念

（二）向量的线性运算

1. 向量的分量

2. 向量的线性运算

3. 线性运算满足的运算规律

4. 基向量与线性表出

（三）向量在轴上的投影

1. 空间两向量的夹角的概念 特殊地，当两个向量中有一个零向量，规定它们的夹角可在 到 中任意取值
2. 空间一点在轴上的投影
3. 向量在轴上的投影

向量在轴上的投影的性质

1. 向量 在轴 上的投影等于向量的模乘以轴与向量夹角的余弦

2. 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和

（四）线性运算的几何意义

1. 平行四边形法则

2. 伸缩变换

（五）方向角与方向余弦

非零向量 与三条坐标轴的夹角称为方向角

称为向量 的方向余弦

3.2 向量的乘法

一、内积

定义 设向量 称为 与 的内积（或数量积）

记为

由定义可知，基向量 的内积为

向量内积的另一种描述

内积的物理意义：力所做的功

二、外积

定义 向量 与 的外积 是一个向量

2. 与 所确定的平面垂直，且 符合右手系

外积的性质

2. ，

外积的几何意义

基向量的外积

利用坐标计算外积

设 则

三、混合积

定义 设已知三个向量 数量 称为这三个向量的混合积，记为 $$

$$

混合积的几何意义与性质

1. 向量的混合积 是这样的一个数，它的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体的体积
3. 三向量 共面

3.3 平面

一、点法式方程

平面 可由 上任意一点和垂直于 的任一向量完全确定，垂直于 的任一向量称为 的法线向量

法线向量的特征：垂直于平面内任一向量

设 位平面 上任一点

必有 称为平面的点法式方程

其中法向量 ，已知点

二、一般式方程

由平面的点法式方程 称为平面的一般方程

法向量

平面一般方程的几种特殊情况

1. ，平面通过坐标远点
2. ，
3. ，平面平行于 坐标面

三、截距式方程

例：设平面与 分别交于 ，求此平面方程

解：设平面为

得

四、平面与平面的位置关系

两平面的夹角

定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角（通常取锐角）

例：点 到平面 的距离

解：

故

点到平面距离公式

3.4 空间直线

一、点向式方程

方向向量的定义

如果一非零向量 平行与一条已知直线 ，向量 称为直线 的方向向量 称为直线的点向式方程

称为直线的一组方向数

二、参数式方程

由点向式方程可得

称为直线 的参数式方程， 称为参数

直线的两点式方程

例：

说明：

2. ，即 在平面 上

三、一般式方程

空间直线可看成两平面的交线 称为空间直线的一般式方程

例：确定直线 外一点 到 的距离

解

设 是直线 上任意一确定的点， 是 上另一点，且

则直线 的方程为

平行四边形面积

四、直线与直线的位置关系

1. 两直线的夹角

   两直线 与 的方向向量 与 的夹角（通常指锐角）称为 与 的夹角，记为

   直线

   直线

2. 两直线的位置关系

   直线

   直线

   它们的方向向量为 设点 在直线 上，点 在直线 上，则有

   2. 与 重合
   3. 与 相交
   4. 与 异面

五、直线与平面的位置关系

1. 直线与平面的夹角

   直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角

   直线与平面的夹角公式