线性代数与空间解析几何 第四章 n 维向量空间

第四章 维向量空间

4.1 维向量空间的概念

一、 维向量空间的概念

个数 组成的有序数组称为 维向量，记为 ，也叫 维行向量， 称为向量 的第 个分量；称 为 维列向量， 称为向量 的第 个分量，分量为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量

称为 维实向量空间

向量的线性运算

二、 的子空间

定义 设 ，如果 对于 的线性运算也构成一个向量空间，那么称 为 的一个子空间

定理1 设 为 的非空子集合， 是 的一个子空间的充要条件为 对于 的加法和数乘运算是封闭的

4.2 向量组合矩阵

一、向量组的线性组合

1. 向量组线性组合的定义

定义1 若存在数 使得

则称向量 为向量组 的线性组合

或称 可由 线性表出

线性组合的全体

若记

则

即，任一 维向量均可由 线性表出

设 ，则 为 的子空间——有 生成的子空间

2. 向量组线性组合与非齐次线性方程组的关系

定理1 设 则下列命题等价

2. 有解

定义2 设有两个向量组

（I）

（II）：

若组（I）中每一个向量都可由组（II）中的向量线性表出，则称组（I）可由组（II）线性表出。若组（I）与组（II）可以互相线性表处，则称组（I）与组（II）等价

若 则 的列向量组能由矩阵 的列向量组线性表示， 为这一表示但系数矩阵 同时 的行向量组能由 的行向量组线性表示， 为这一表示的系数矩阵

二、向量组的线性相关性

1.向量组线性相关性的定义

定义 若存在不全为零的数 使得

则称 线性相关；否则，称 线性无关

说明

1. 若 线性无关，则只有当 时，才有 成立

2. 对于任意向量组，不是线性无关就是线性相关

3. 向量组只包含一个向量 时，若 则说 线性相关，若 则说 线性无关

4. 包含零向量的任何向量组是线性相关的

5. 对于含有两个向量的向量组，它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量线性相关的几何意义是三向量共勉

   在 中， 线性相关 （或共线）

   在 中， 线性相关 共面

2. 线性相关性与齐次线性方程组的关系

定理2 设有 维向量组 ， 则下列命题等价

1. 线性相关
2. 有非零解

推论1 设有 维向量组 ， 则下列命题等价

1. 线性相关
2. 有非零解

推论2 向量个数>向量维数的向量组必线性相关

在 中，任意 个向量必线性相关

线性相关性的基本定理

定理3 若 线性相关，则 线性相关

**部分相关，则整体相关**

定理4 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余 个向量线性表出

定理5 若 线性无关，， 线性相关，则 可由 线性表出，且表示式唯一

4.3 向量的秩与极大无关组

一、向量组的秩与最大无关组的概念及性质

定义 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 满足

1. 向量 线性无关
2. 中任意 个线性相关

则称 是向量组 的一个最大无关组，数 为向量组 的秩

定理1 若 ，则 的任意 个（）个列向量与 的对应 个列向量有相同的线性相关性

定理2 矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩

定理3 若向量组 可由 线性表出，且 线性无关，则

推论 若向量组 可由 线性表出，且 ，则 线性相关

两向量组秩的关系：

若向量组 I 可由组 II 线性表出，则组 I 的秩 $r_1\leq$ 组 II 的秩 $r_2$

定理4 设 是 的线性无关部分组，它为最大无关组的充要条件是 中每一个向量均可由 线性表出

二、 的基、维数与坐标

： 维向量空间

的一组基： 的一个最大无关组

的维数（）： 的秩，

设 为 的一组基，则 ，特别地，

为一组基， 中 称为 在基 下的坐标

一个向量在确定基下的坐标是唯一的（坐标的唯一性）

设向量组 和 分别为 的基，由于 的任意两组基都是等价的，所以存在可逆矩阵 ，使得

称 为从基 到基 的过渡矩阵

4.4 线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组

齐次线性方程组 显然有 称为零解

性质1 设 为齐次线性方程组 的解，则 也是 的解

性质2 若 为齐次线性方程组 的解， 为数，则 也是 的解

性质3 齐次线性方程组 解向量的线性组合也为 的解，即设 为 的解，则对任意 个数 也是 的解

将齐次线性方程组 的解的全体记为 ，即

由性质 1,2知 为 的一个子空间，称为 的解空间，其任意一组基称为 的一个基础解系

定理 设齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩 ，则方程组 有基础解系且所含解向量个数为 ，即 的维数为 ，这里 为方程组中未知数的个数

2.基础解系的求法