线性代数与空间解析几何 第一章 矩阵及其初等变换

线性代数 评论

第一章 矩阵及其初等变换

1.1 矩阵及其运算

一、矩阵的概念

（一）矩阵概念的引入

#### （二）矩阵的定义

由 个数排成的 行 列的数表称为 行 列的矩阵，简称为 矩阵，其中 表示第 行第 列元素

简记为

元素为实数称为实矩阵，元素是复数的称为复矩阵

（三）几种特殊矩阵

（1）n阶方阵

行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶方阵，记作 （主对角线为左上到右下，次对角线为右上到左下）

（2）行矩阵，列矩阵

只有一行的矩阵称为行矩阵（行向量），只有一列的矩阵称为列矩阵（列向量）

（3）零矩阵

元素全为零， 零矩阵记作 或

（4）对角矩阵

的元 ，且 时， 不全为零

称为对角元，记作

（5）单位矩阵

方阵

也可记作

（6）三角矩阵

形如 的方阵，称为上三角矩阵

当 时，

形如 的方阵，称为下三角矩阵

当 时，

二、矩阵的线性运算

（一）同型矩阵与矩阵相等的概念

  1. 行列都相等称为同型

  2. 同型且对应元相等称矩阵相等

（二）矩阵的加法

同型的矩阵

负矩阵

同型的矩阵

矩阵加法的运算规律

（三）矩阵的数乘

数乘的运算规律

三、矩阵的乘法

设 矩阵 ， 矩阵 则由元

Misplaced & c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{im}b_{mj}=&\sum_{x=1}^ma_{ix}b_{xj}\\&(i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,k)

构成的 矩阵 ，称为矩阵 和 的乘积，记为

例：设

矩阵乘法的运算规律

例 则 故

矩阵的可交换

对于两个 阶方阵 ，，若 ，则称 与 是可交换的

只有 与 可交换时，下列公式才成立

一般来说

（即矩阵乘法不适合消去律）

但是

方阵的幂

设 为 阶方阵， 为正整数

注意 一般，

当 时，，但其逆不真

反例

方阵的多项式

设 为 的多项式， 是 阶方阵，则 称为 的 次多项式

设有多项式 ， 为 阶方阵，则 如

但是，一般

四、矩阵的转置

设 称 为 的转置

对称矩阵

即

反对称矩阵

即

例

为两个 阶对称矩阵，则 对称的充要条件为 可交换

例

是 阶反对称， 是 阶对称，则 是 阶反对称

1.2 高斯消元法与高斯-若尔当消元法

一、线性变换的概念

个变量 与 个变量 之间的关系式 称为从变量 到变量 的线性变换

若记 则上述线性变换的矩阵形式为

例

在平面直角坐标系中，线性变换 是将点 逆时针旋转 角得到新点 的旋转变换

若记

则方程组可用矩阵和向量表示为

系数矩阵为 ，增广矩阵为

齐次方程组

非齐次方程组 （ 中至少有一分量不为零

当 使得方程组 成立时，则称 为 的解

二、高斯消元法与矩阵的初等变换

（一）消元法

任意取值：自由变量

  1. 上述解方程组的方法称为消元法
  2. 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换
    1. 交换方程次序
    2. 以不等于 的乘某个方程
    3. 一个方程加上另一个方程的 倍

（二）矩阵的初等变换

矩阵的行（列）初等变换是指对矩阵施行以下三种变换

  1. 交换两行（列）的位置：（或 ）
  2. 用一非零数乘某一行（列）的所有元：（或 ）
  3. 把矩阵的某一行（列）的适当倍数加到另一行（列）上去：（或 ）

高斯消元法就是对增广矩阵实施行初等变换转化为行阶梯形（或简化行阶梯形）矩阵

行阶梯形矩阵
  • 每个非零行的非零首元都出现在上一行非零元的右边
  • 没有一个非零行出现在零行之下
简化行阶梯形矩阵
  • 行阶梯形矩阵的每个非零行的非零首元都是
  • 且非零首元所在列的其余元素都为

非零行的非零首元所在列为非自由未知量

  • 增广矩阵经行初等变换化为行（简化）阶梯形，该阶梯形与方程组解的关系
    • 无穷多解 行（简化）阶梯形中非零行的行数 未知量个数
    • 惟一解 行（简化）阶梯形中非零行的行数 未知量个数
    • 右下数不等于 ，无解
    • 若有解

（三）初等矩阵

定义：对单位矩阵做一次初等变换所得矩阵

定理：对矩阵 做一次行（列）初等变换，等于在 的左（右）边乘上相应的初等矩阵

交换 行和 行

第 行乘

第 行乘 加到第 行

1.3 逆矩阵

一、逆矩阵的概念与性质

定义：设 为 阶矩阵，若存在 阶矩阵 ，使得 则称 为可逆矩阵， 为 的逆矩阵，记为

单位阵

对角阵

定理1 设 可逆，则它的逆唯一

证：设有 和 满足

若 均为方阵且 则 可逆且

性质

  1. 可逆，且
  2. 可逆，且
  3. 可逆，且
  4. 可逆且

例3

矩阵 满足 ， 证明 可逆，求

解：

初等矩阵的逆矩阵

一个矩阵可逆则可写作有限个初等矩阵的乘积

定理

为 阶矩阵，则下列个命题等价

  1. 是可逆的
  2. 只有零解
  3. 与 行等价
  4. 可表为有限个初等矩阵的乘积

推论 设 为 阶矩阵，则 有唯一解的充要条件是 可逆

证

充分性 有唯一解

必要性 设 有唯一解 ，但 不可逆

有非零解

令 则 也为 的解

二、用行初等变换求逆矩阵

求逆矩阵的简便方法

设 可逆，所以存在初等矩阵 使得 方法 行初等变换

1.4 分块矩阵

一、矩阵分块的概念

对于行列数较高的矩阵，为了简化运算常划分为若干肖局长

分块原则：分成特殊矩阵如对角矩阵、零矩阵、三角矩阵等

二、分块矩阵的运算

加法

同型矩阵若分块方法相同，则

数乘

乘法

Misplaced &C_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots+A_{im}B_{mj}=&\sum_{x=1}^mA_{ix}B_{xj}\\&(i=1,2,\cdots,n;j=1,2,\cdots,k)

求逆

只对对角矩阵有效

主对角线矩阵一一对应，副对角线矩阵颠倒顺序

不知不觉Never Settle

Never Settle