概率论与数理统计 第二章 随机变量的分布

第二章 随机变量的分布

2.1 随机变量的分布函数

定义 设 是随机试验 的样本空间，若对于每一个样本点 ，都有唯一的实数 与之对应，且对于任意实数 ，都有确定的概率 与之对应，则称 为随机变量，简记为

随机变量有如下的特点

1. 它们是由随机实验的结果所确定的量
2. 随机变量取各值的可能性大小有确定的统计规律性

引进分布函数来描述随机变量的统计规律

定义 设 是随机试验 的样本空间， 是任意实数，称函数 为随机变量 的分布函数， 也可记为

可将随机变量 看成实数轴上随机点的坐标， 称为随机点

定理 设 为随机变量 的分布函数，则

1. 为单调不降函数，即 ，有
2. ，且
3. 是右连续函数，即

2.2 离散型随机变量

一、离散型随机变量及其分布律

定义 如果随机变量 只取有限个或可列无穷多个数值 ，记 ，它满足

则称 为离散型随机变量，并称

为 的分布律，并用如下表格表示

例 某射手一次射击命中目标的概率为 ，射击进行到第一次命中目标位置，求射击次数 的分布律

解 设 则 且 故 的分布律为

则称随机变量 服从几何分布

若一个试验的样本空间只有两个样本点，则只有两个可能的对立结果 ，则称之为伯努利试验

在伯努利试验中， 为伯努利试验的基本事件，若 ，令 则 的分布律为

或者

则称 服从（0-1）分布（或两点分布）

二、伯努利试验与二项分布

定义 将一个试验在相同条件下重复进行 次，如果在每次试验中，任一事件出现的概率与其他各次试验结果无关，则称这 次试验是 次重复的独立的试验

次重复独立的伯努利试验称为 重伯努利试验，或称伯努利概型

定理 在 重伯努利试验中，事件 在每次试验中发生的概率为 ，，则 恰好发生 次的概率为 注意到 ，显然 ，并由二项式定理有 则称 服从二项分布，记为

特别若 ，则其分布律为

则 服从（0-1）分布

三、泊松分布

设随机变量 的分布律为 则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为

泊松定理

设随机变量序列 有 ，即 若满足

则有 当 很大， 很小时，可用泊松定理近似计算二项分布的概率 其中

2.3 连续型随机变量

一、概率密度函数

定义 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 则称 是连续型随机变量，称 为 的概率密度

连续性随机变量的概率密度具有如下性质

4. 若 在点 处连续，则

5. 连续型随机变量的分布函数 是一个在 上的连续函数

6. 设 为连续型随机变量，则对任一指定实数 ，有

二、几种连续型分布

1. 均匀分布

   设连续型随机变量 具有概率密度 则称 在区间 上服从均匀分布，记为

   可得 的分布函数为

2. 指数分布

   设随机变量 ​ 的概率密度为 则称随机变量 服从参数为 的指数分布

三、正态分布

定义 若连续型随机变量 的概率密度为 其中 均为实数，且 ，则称 服从参数为 的正态分布（或高斯分布），记为

特别地当 ，即 时，称 服从标准正态分布，其概率密度简记为 正态概率密度 具有以下性质

1. 处处大于 ，且具有各阶连续的导函数

2. 在 内单调增加，在 达到最大值 ，在 上单调减少，当 或 时，

3. ​ 关于直线 ​ 是对称的，即对任意实数 ​，有 ​，从而 若 服从标准正态分布，其分布函数记为

有如下常用计算式

1. 若随机变量 ，则

2. 若随机变量 ，则

设随机变量 ，若 则称 是标准正态分布的上侧分位数

得