概率论与数理统计 第四章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征

4.1 数学期望

一、随机变量的数学期望

定义 设离散型随机变量 的分布律为 若 ，则称 为随机变量 的数学期望或均值

设随机变量 服从柯西分布，其概率分布为 则其数学期望不存在

二、随机变量的函数的数学期望

定理 设 是随机变量 的函数 （ 连续）

1. 若 是离散型随机变量，其分布律为 若 绝对收敛，则有

2. 若 是连续型随机变量，其概率密度是 ，若 则 定理也可以推广到多维随机变量的情形

三、数学期望的性质

1. 设 是常数，则
2. 设 是随机变量， 是常数，则有
3. 设 是两个随机变量，则有
4. 设 是相互独立的随机变量，则有

4.2 随机变量的方差

定义 设 是随机变量，若 存在，则称 为 的方差，称 为 的标准差（或均方差）

常用的计算公式为 方差的性质有

1. 设 是常数，则

2. 若随机变量 的方差存在， 是常数，则有

3. 设随机变量 的方差存在，有 有设 相互独立，则

4. 随机变量 的方差为零的充要条件是 以概率为 取常数 ，即

设随机变量 的数学期望存在，方差 ，令 为随机变量 的标准化随机变量，满足

4.3 几种常见分布的数学期望和方差

一、二项分布

设 ，有

二、泊松分布

设 ，有

三、均匀分布

设 ，则

四、指数分布

设随机变量 服从参数为 的指数分布，其概率密度为 则

五、正态分布

设随机变量 ，其概率密度为 则有

4.4 协方差、相关系数与矩

一、协方差

定义 若关于随机变量 的数学期望 存在，则称 为随机变量 的协方差

特别地，有 且 协方差的性质

1. 对称性：
2. 齐性：， 是常数
3. 可加性

常利用公式 定义 设 维随机变量 的协方差均存在，称矩阵 为 维随机变量 的协方差矩阵

协方差矩阵满足

二、相关系数

定义 设随机变量 的协方差及方差均存在且 ，则称 为随机变量 的相关系数

也可写成下列形式 即相关系数 是 相应的标准化随机变量的协方差

定理 设 两个随机变量的相关系数 存在，则有

2. 的充要条件是 依概率为 线性相关，即存在常数 使

定义 若随机变量 相关系数存在，且 则称 不相关；若 ，则称 正相关；若 ，则称 负相关

定理 若 相互独立，则 不相关

但此定理的逆定理不存在

三、矩

定义 设随机变量 的数学期望 存在，若有 ，则称 为 的 阶原点矩，称 为 的 阶绝对原点矩

随机变量 的数学期望即一阶原点矩

定义 设随机变量 的数学期望 存在，且 ，则称 为 的 阶中心距，称 为 的 阶绝对中心距

可以证明，若高阶矩存在，则低阶矩一定存在

随机变量 求 各阶中心距

得 为奇数时，

为偶数时，

将 带入，得 其中 ，如

4.3 多维正态随机变量

定义 设 维随机变量 的协方差矩阵 是 阶正定对称矩阵，联合概率密度为 其中 则称 服从 维正态分布

当 时无法写出其概率密度，称 服从退化正态分布或奇异正态分布

维正态随机变量的概率密度均由其均质向量 和协方差矩阵 确定，记为 服从

性质

1. 维正态分布随机变量的任一 维子向量服从 维正态分布，特别地， 均为一维正态随机变量

2. 维正态随机变量 相互独立的充要条件是其协方差矩阵是对角矩阵

​ 等价地， 维正态随机变量相互独立的充要条件是 两两不相关

3. 相互独立的正态随机变量的有限线性组合仍然服从正态分布

4. 为正态随机变量 的任一非零线性组合 服从正态分布，其中 不全为零

5. 设有矩阵 随机变量 ，其线性变换 服从 维正态分布 ，特别若 为 阶满秩矩阵，则该线性变换是非退化的 维正态随机变量，也称正态随机变量的线性不变性